La fonction cube : Cours et exercices corrigés

Cet article a pour but de définir la fonction cube, d’en présenter les propriétés principales ainsi que des exercices corrigés pour bien comprendre cette fonction ! En prérequis, nous vous conseillons de bien connaitre les notions de :

• Image et antécédent
• Fonction affine
• Fonction carrée

Définition de la fonction cube

La fonction cube est une fonction définie sur l’ensemble des réels. En voici sa définition, pour tout x réel, elle est définie par

f(x) = x^3

Et voilà à quoi ressemble sa représentation graphique :

Propriétés de la fonction cube

La fonction cube est croissante sur ]-∞;+∞[

En voici la preuve, commençons par le cas positif. Soient x < y 2 réels. On va utiliser la formule de factorisation vue dans le chapitre sur les identités remarquables :

x^3 -y^3 =(x-y) (x^2+xy+ y^2 )

On va faire une démonstration originale en utilisant la forme canonique :

\begin{array}{rl}
x^2+xy+ y^2 &= x^2+xy+ \dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2\\
& = \left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2 + \dfrac{3}{4}y^2 
\end{array}

Qui est donc une quantité positive.

Dans l’autre sens, faisons une démonstration avec les identités remarquables : Si x < y < 0, on a :

x^2-y^2 =  (x-y) (x+y) > 0 

De plus, on a

x-y < 0

Ainsi,

x^3 -y^3 < 0

Et finalement,

x^3 < y^3

Ce qui nous montre bien la croissance de la fonction cube

Résolution d’équations

En notant f la fonction carrée, l’équation f(x) = a aura une unique solution qui est

\sqrt[3]{a}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a. C’est plus facile que pour la fonction carrée. L’ensemble des solutions est

[\sqrt[3]{a}; + \infty[ 

On prononce le terme de gauche de l’intervalle “racine cubique de a”

Ensuite, si on cherche à résoudre f(x) > a, l’ensemble des solutions est

]\sqrt[3]{a}; + \infty[ 

Exercices corrigés

Exercice 1

Résoudre l’équation suivante :

x^3 =2 

C’est simple au vu de ce qu’on a écrit avant,

x  = \sqrt[3]{2}

Tout se passe bien car la fonction est strictement croissante !

Exercice 2

Résoudre l’inéquation suivante :

x^3 > - 8

Au vu de ce qu’on a vu, la solution est

]-2; + \infty[ 

Exercice 3

Résoudre l’inéquation suivante :

x^3 \leq 3 

Et cette fois, la solution est :

[- \infty ;\sqrt[3]{3}]

Exercices

Exercice 1

Calculer les antécédents par la fonction cube des réels suivants

1. 8
2. -2
3. 64/1000
4. -125

Exercice 2

Donner un encadrement de la fonction cube sur les intervalles I suivants :

1. I = [-5;2]
2. I = [-∞;3[
3. I = [2;3]
4. I = [-4;-1[

Exercice 3

Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}
1)\ x^3 \geq 8 \\
2)\ x^3 - 8\leq 0 \\
3)\ x ^3 \leq 0 
\end{array}

Exercice 4

Démontrer que la fonction cube est impaire.

Exercice 5

Calculer les images par la fonction cube des nombres suivants :

1. -3
2. √5
3. 2
4. -2√10
5. -2²

Exercice 6

Déterminer la position relative des courbes y = x² et y = x³ sur l’ensemble des réels positifs.

Exercice 7

Vous possédez 1m³ de verre. Quelle est la plus grande boule que vous pouvez faire ? Quelle est alors la surface de cette boule ? C’est la surface la plus grande qu’on peut avoir avec 1m³, allez voir notre article sur l’inégalité isopérimétrique !

Exercice 8

Soit f la fonction cube. Indiquer si chaque affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

1. Tous les nombres réels ont exactement une image par f
2. Tous les nombres réels ont un unique antécédent par f
3. Il existe au moins un nombre réel ayant deux antécédents par f