Cet article a pour but de définir la fonction cube, d’en présenter les propriétés principales ainsi que des exercices corrigés pour bien comprendre cette fonction ! En prérequis, nous vous conseillons de bien connaitre les notions de :
- Image et antécédent
- Fonction affine
- Fonction carrée
Définition de la fonction cube
La fonction cube est une fonction définie sur l’ensemble des réels. En voici sa définition, pour tout x réel, elle est définie par
f(x) = x^3
Et voilà à quoi ressemble sa représentation graphique :
Propriétés de la fonction cube
La fonction cube est croissante sur ]-∞;+∞[
En voici la preuve, commençons par le cas positif. Soient x < y 2 réels. On va utiliser la formule de factorisation vue dans le chapitre sur les identités remarquables :
x^3 -y^3 =(x-y) (x^2+xy+ y^2 )
On va faire une démonstration originale en utilisant la forme canonique :
\begin{array}{rl}
x^2+xy+ y^2 &= x^2+xy+ \dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2\\
& = \left(x+\dfrac{1}{2}y\right)^2 + \dfrac{3}{4}y^2
\end{array}Qui est donc une quantité positive.
Dans l’autre sens, faisons une démonstration avec les identités remarquables : Si x < y < 0, on a :
x^2-y^2 = (x-y) (x+y) > 0
De plus, on a
x-y < 0
Ainsi,
x^3 -y^3 < 0
Et finalement,
x^3 < y^3
Ce qui nous montre bien la croissance de la fonction cube
Résolution d’équations
En notant f la fonction carrée, l’équation f(x) = a aura une unique solution qui est
\sqrt[3]{a}Résolution d’inéquations
On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a. C’est plus facile que pour la fonction carrée. L’ensemble des solutions est
[\sqrt[3]{a}; + \infty[ On prononce le terme de gauche de l’intervalle “racine cubique de a”
Ensuite, si on cherche à résoudre f(x) > a, l’ensemble des solutions est
]\sqrt[3]{a}; + \infty[ Exercices corrigés
Exercice 1
Résoudre l’équation suivante :
x^3 =2
C’est simple au vu de ce qu’on a écrit avant,
x = \sqrt[3]{2}Tout se passe bien car la fonction est strictement croissante !
Exercice 2
Résoudre l’inéquation suivante :
x^3 > - 8
Au vu de ce qu’on a vu, la solution est
]-2; + \infty[
Exercice 3
Résoudre l’inéquation suivante :
x^3 \leq 3
Et cette fois, la solution est :
[- \infty ;\sqrt[3]{3}]Exercices
Exercice 1
Calculer les antécédents par la fonction cube des réels suivants
- 8
- -2
- 64/1000
- -125
Exercice 2
Donner un encadrement de la fonction cube sur les intervalles I suivants :
- I = [-5;2]
- I = [-∞;3[
- I = [2;3]
- I = [-4;-1[
Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{array}{l}
1)\ x^3 \geq 8 \\
2)\ x^3 - 8\leq 0 \\
3)\ x ^3 \leq 0
\end{array}Exercice 4
Démontrer que la fonction cube est impaire.
Exercice 5
Calculer les images par la fonction cube des nombres suivants :
- -3
- √5
- 2
- -2√10
- -22
Exercice 6
Déterminer la position relative des courbes y = x2 et y = x3 sur l’ensemble des réels positifs.
Exercice 7
Vous possédez 1m3 de verre. Quelle est la plus grande boule que vous pouvez faire ? Quelle est alors la surface de cette boule ? C’est la surface la plus grande qu’on peut avoir avec 1m3, allez voir notre article sur l’inégalité isopérimétrique !
Exercice 8
Soit f la fonction cube. Indiquer si chaque affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
- Tous les nombres réels ont exactement une image par f
- Tous les nombres réels ont un unique antécédent par f
- Il existe au moins un nombre réel ayant deux antécédents par f
