La dichotomie : Définition et applications

La dichotomie en mathématiques est un concept qui désigne la division d’un ensemble en deux sous-ensembles distincts. Cette notion est très importante pour les mathématiciens et est utilisée dans de nombreux domaines, notamment la logique, l’algèbre, la géométrie et la théorie des graphes. Dans cet article, nous examinerons la définition et les propriétés de la dichotomie et discuterons de ses applications pratiques. 

Définition 

La dichotomie est un concept mathématique qui consiste à diviser un ensemble en deux sous-ensembles disjoints. Cette division est réalisée en utilisant une propriété unique d’un élément donné, par exemple sa couleur, sa taille ou sa forme. Une fois que l’élément est divisé, chaque sous-ensemble est appelé “dichotomie”. 

La dichotomie est une forme de partition qui permet de subdiviser un ensemble en deux sous-ensembles distincts. 

Très concrètement, en mathématiques, on va notamment couper un segment en deux segments de longueur égale pour trouver quel segment vérifie telle ou telle propriété comme nous allons le voir ci-dessous. 

Applications

Voici plusieurs applications de la dichotomie en mathématiques

Trouver un zéro d’une fonction

Supposons qu’une équation de la forme f(x) = 0 pour une fonction f continue n’ait pas de solution analytique. Dans ce cas, on va chercher un x_0 tel que f(x_0) < 0 et un y_0 tel que f(y_0) > 0 . 

Pour simplifier la suite du raisonnement, on va supposer que x_0 < y_0 . On pourrait même imposer y_0 - x_0 = 1

Dans ce cas, on va construire, par dichotomie, une suite de réels convergeant vers la solution. On pose a = \dfrac{x+y}{2} . Si f(a) < 0 alors on pose x_1= a, y_1 = y_0 . Sinon, on pose x_1 = x_0, y_1 = a. On a alors y_1 -x_1 = \dfrac{y_0-x_0}{2}. 

On répète n fois ce procédé. On obtient alors x_n < y_n tels que f(x_n) < 0 < f(y_n) et y_n -x_n = \dfrac{y_{n-1}-x_{n-1}}{2}= \dfrac{y_0-x_0}{2^n} . 

On s’arrête alors à l’entier n qui nous assure la précision désirée.

Voici un code Python permettant de trouver le zéro d’une fonction à epsilon près.

def dichotomy(f, a, b, epsilon):
    while abs(b - a) > epsilon:
        c = (a + b) / 2
        if f(c) == 0:
            return c
        elif f(a) * f(c) < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a + b) / 2

Démonstration de la densité de Q dans R

Nous l’avons montré dans notre article sur la densité de \mathbb{Q} dans \mathbb{R} , nous pouvons faire cette démonstration par dichotomie

Le juste prix

Dans le jeu le juste prix, la dichotomie est la bonne méthode pour gagner lorsqu’on arrive en finale. En effet, en coupant en 2 parties égales, on va obtenir un algorithme permettant de trouver le juste prix le plus rapidement possible. 

En effet, on va commencer par annoncer un prix de 40 000€ par exemple (c’est rarement au-dessus), si c’est moins on va alors annoncer 20 000€. Si c’est moins, on annonce ensuite 10 000€ et sinon 30 000€ puis 25 000 ou 35 000… 

De cette manière, on coupe les segments de manière optimale pour obtenir le juste prix en le moins d’étapes possibles, ce qui permet d’arriver le plus rapidement possible au bon résultat. 

Voici un code Python où l’algorithme s’amuse à deviner quel nombre l’utilisateur cherche à faire deviner. C’est le joueur qui dit si c’est plus grand ou moins grand que le nombre trouvé par l’ordinateur. Le jeu continuera jusqu’à ce que l’ordinateur trouve le nombre exact.

def dichotomy(minimum, maximum):
    guess = (minimum + maximum) // 2
    while True:
        answer = input(f"Est-ce que le nombre est {guess}? (plus grand, plus petit, égal) ")
        if answer == "plus grand":
            minimum = guess + 1
        elif answer == "plus petit":
            maximum = guess - 1
        elif answer == "égal":
            print(f"Le nombre est {guess}!")
            break
        else:
            print("Répondez 'plus grand', 'plus petit' ou 'égal'.")
        guess = (minimum + maximum) // 2

minimum = int(input("Entrez le nombre minimum : "))
maximum = int(input("Entrez le nombre maximum : "))
dichotomy(minimum, maximum)

Conclusion

En conclusion, la dichotomie est un concept mathématique essentiel qui est utilisé dans de nombreux domaines. Elle consiste à diviser un ensemble en deux sous-ensembles distincts et a de nombreuses propriétés et applications pratiques. La dichotomie est un outil précieux pour les mathématiciens et peut être utilisé pour résoudre des problèmes dans des domaines variés.