Image réciproque : Cours et exercices corrigés

Qu’est-ce qu’une image réciproque ? Découvrez le dans cet article qui en donne la définition et les principales propriétés
Image réciproque

La notion d’image réciproque est une notion essentielle, tant en algèbre qu’en analyse. Dans cet article, nous allons vous présenter ce qu’est une image réciproque avec des exercices pour bien vous aider à comprendre ce concept.

Prérequis

Cours

Soient E et F deux ensembles. Soit f : E \to F une application. Soit B \subset F , donc un sous-ensemble de l’espace d’arrivée. L’image réciproque de B par l’application f notée f^{-1} (B) est définie par

f^{-1}(B) = \{ x \in E,f(x) \in B\}

On peut par exemple considérer les singletons en prenant B = \{ y \} . Dans ce cas, f^{-1}(B) est l’ensemble des antécédents de y .

De plus, on a toujours f^{-1}(F) = E . Notons aussi que f^{-1} (B) peut être vide.

Propriétés

Notons les propriétés suivantes de l’image réciproque. Soient B_1 \subset F,B_2 \subset F. On a :

  • B_1 \subset B_2 \Rightarrow f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)
  • f^{-1} (B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1} (B_2)
  • f^{-1} (B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1} (B_2)
  • f^{-1} (B_1 \backslash B_2) = f^{-1}(B_1) \backslash f^{-1} (B_2)
  • Soit H un troisième ensemble et g : G \to H . On a (g \circ f)^{-1} (C) = f^{-1} (g^{-1}(C) )

Exercices corrigés

Exercice 1

Enoncé : Soit l’application

\begin{array}{cccc}
f : & \R \times \R &\to &\R\\
& (x,y) & \mapsto & x^2+y^2
\end{array}

Calculer les images réciproques suivantes :

  1. f^{-1}(\{0\}
  2. f^{-1}(]-\infty; 1] )
  3. f^{-1}(\{1\}

Corrigé :

  1. On cherche les couples (x,y) tels que x^2+y^2 = 0 . En tant que somme de termes positifs, il faut et il suffit que les deux termes soient nuls. La seule solution est donc le couple (0,0)
  2. On cherche les couples (x,y) tels que x^2+y^2 \leq 1 . Ceci correspond au disque de centre O et de rayon 1.
  3. On cherche les couples (x,y) tels que x^2+y^2 = 1 . Ceci correspond au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercice 2

Enoncé : Démontrer la deuxième propriété énoncée plus haut.

Corrigé : Soit y \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) . On a f(y) \in B_1 \cup B_2 donc f(y) \in B_1 ou f(y) \in B_2 . Autrement dit : y \in f^{-1}(B_1) ou y \in f^{-1}(B_2) ce qui implique que y \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) . Ainsi f^{-1}(B_1 \cup B_2) \subset f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)

Maintenant la réciproque : soit y \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) donc y \in f^{-1}(B_1) ou y \in f^{-1}(B_2) . Or f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_1 \cup B_2) et f^{-1}(B_2) \subset f^{-1}(B_1 \cup B_2). D’où y \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) ce qui permet de conclure.

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