Ce court article aspire à présenter les formules de Moivre et d’Euler, utiles pour travailler avec les complexes.
Prérequis
- Forme exponentielle d’un complexe
Formule de Moivre
Enoncé
Soit x \in \R. La formule de Moivre est la suivante :
(\cos(x) + i \sin(x) )^n = \cos(nx) + i\sin(nx)
Démonstration
La démonstration est assez simple. En effet :
(\cos(x) + i \sin(x) )^n = (e^{ix})^n =e^{inx}= \cos(nx) + i\sin(nx)La seconde égalité se démontre par récurrence à partir de e^{ia} e^{ib} = e^{i(a+b)}.
Formules d’Euler
Enoncé
Soit \theta \in \R. Les formules d’Euler s’écrivent :
\begin{array}{ll}
\cos(\theta) &= &\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\\
\sin(\theta) &=& \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\end{array}Démonstration
On écrit :
\begin{array}{ll}
e^{ix} &= &\cos(x) + i\sin(x)\\
e^{-ix} &= &\cos(x) - i\sin(x)\\
\end{array}D’un côté on fait la somme et de l’autre la différence :
\begin{array}{ll}
e^{ix}+e^{-ix} &= &2\cos(x) \\
e^{ix}- e^{-ix} &= &2i\sin(x)\\
\end{array}On divise parce ce qui va bien pour obtenir le résultat :
\begin{array}{ll}
\cos(\theta) &= &\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\\
\sin(\theta) &=& \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
\end{array}
