Cet article a pour but de présenter les formules des dérivées pour la plupart des fonctions dites usuelles. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire.
Si vous cherchez un cours sur la dérivation, allez plutôt ici. Et si vous cherchez des exercices sur la dérivation et que vous êtes dans le supérieur, c’est à cet endroit qu’il faut aller.

Dérivation des puissances

Commençons par les cas les plus simples : les fonctions puissances et les fonctions issues de l’exponentielle : 1, x, xn, la fonction inverse ou une puissance quelconque.

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
     1  & 0 & \mathbb{R}  \\  \\\hline   \\
x & 1 & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
x^2& 2x & \mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
x^n, n \in \N & nx^{n-1} & \mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x}& -\frac{1}{x^2} &\mathbb{R}^*  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x^n}, n\in \N& -\frac{n}{x^{n+1}} &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline   \\
\sqrt{x} & \frac{1}{2\sqrt{x}} & \mathbb{R}_+^* \\ \\ \hline  \\
\text{Généralisation : } & \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^* \text{ ou }\mathbb{R}\\
x^{\alpha}, \alpha\in \mathbb{R} & & \text{ou } \mathbb{R}^* \\ \\ \hline 
   \end{array}

Dérivation liées à l’exponentielle et au logarithme

Ici nous allons dériver les fonctions liées de près à l’exponentielle et au logarithme. Voici les formules pour toutes ces fonctions :

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
     e^x  & e^x & \mathbb{R}  \\  \\\hline   \\
e^{ax}, a \in \mathbb{C} & ae^{ax} & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
a^x, a \in \mathbb{R}_+^*  & a^x \ln a  & \mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
\ln |x|  &\dfrac{1}{x} & \mathbb{R}^*  \\ \\ \hline   \\
\log_a x& \dfrac{1}{x\ln a} &\mathbb{R}^*  \\ \\ \hline 
   \end{array}

Dérivation des fonctions trigonométriques

Voici les formules pour dériver cos, sin, tan, cotan, ch, sh, th, coth

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
     \cos x & - \sin x & \mathbb{R}  \\  \\\hline   \\
\sin x & \cos x & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\tan x& 1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} & \left] -\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2} +k\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline   \\
\text{cotan } x & -1-\text{cotan }^2x =\dfrac{-1}{\sin^2 x}  & \left] k\pi;(k+1)\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline   \\
\text{ch } x & \text{sh }x &\mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
\text{sh } x & \text{ch }x &\mathbb{R} \\ \\ \hline   \\
\text{th } x & 1 - \text{th}^2 x=\dfrac{1}{\text{ch}^2 x} & \mathbb{R} \\ \\ \hline  \\
\text{coth } x & 1 - \text{coth}^2 x= \dfrac{-1}{\text{sh}^2x} & \mathbb{R}^*\\ \\ \hline 
   \end{array}

Dérivation de Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth

Voici les dérivées et ensembles de définition des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th.

 \begin{array}{| c | c | c | } \hline
    \text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
     \arccos x & - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}  & ]-1;1[  \\  \\\hline   \\
\arcsin x & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}  & ]-1;1[  \\  \\\hline   \\
\arctan x & \dfrac{1}{1+x^2}& \mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
\text{argch } x &\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}  & ]1;+\infty[  \\ \\ \hline   \\
\text{argsh }x& \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}&\mathbb{R}  \\ \\ \hline   \\
\text{argth } x& \dfrac{1}{1-x^2} &]-1;1[ \\ \\ \hline
   \end{array}

Et voici pour les dérivées usuelles. Retrouvez aussi tous nos exercices de dérivation

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