Définition

La fonction inverse est une fonction définie sur les réels non nuls. En voici sa définition :

\begin{array}{l}La\ fonction \ inverse\ est\ la\ fonction\ définie\ sur\ \mathbb{R^*} \ par \\
\forall x\in\mathbb{R^*},f(x) = \frac{1}{x}\end{array}

Et voilà à quoi ressemble sa courbe :

Fonction inverse

Propriétés

La fonction inverse est décroissante sur ]-∞;0[
La fonction inverse est décroissante sur ]0;+∞[
Par contre, on ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur *

Exemple : f(1) = 1 > f(-1) = – 1
Donc on va comparer entre eux les termes négatifs et entre eux les termes positifs. Par contre, tous les termes positifs seront supérieurs aux termes négatifs.

La propriété suivante est aussi vraie :

\forall x \in \mathbb{R}, f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = x 

La fonction inverse est une fonction impaire :

\forall x \in \mathbb{R}^* , f(-x) = -f(x) 

Résolution d’équations

En notant f la fonction inverse, l’équation f(x) = a aura :

\begin{array}{l}1\ solution\ si\ x\ \ne0\ :\ \frac{1}{x}\ =\ a\ \Leftrightarrow\ x=\ \frac{1}{a}\\
0\ solution\ si\ x\ =\ 0\end{array}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a

\begin{array}{l}Si\ a\ >\ 0\ :\ x\ \ge\frac{1}{a}\\
Si\ a\ =\ 0\ :\ x\ >\ 0\\
Si\ a\ <\ 0\ :\ x\ >\ 0\ ou\ x\ \le\ \frac{1}{a}\end{array}

Pour bien comprendre le troisième cas, regardons le graphique suivant :

Inégalité fonction inverse
Illustration graphique du troisième cas

Exemple

Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :

\frac{1}{x} =2

C’est simple, la solution est

x = \frac{1}{2}

Exemple 2
Résoudre l’inéquation suivante :

\frac{2x+3}{x+4}\ge\ 1

On met tout au même dénominateur pour commencer :

\begin{array}{l}\dfrac{2x+3}{x+4}\ge\ 1\\ \\
\Leftrightarrow\ \dfrac{2x+3}{x+4}-1\ \ge0\\ \\
\Leftrightarrow\ \dfrac{2x+3}{x+4}-\frac{x+4}{x+4}\ge0\\ \\
\Leftrightarrow\ \dfrac{x\ -1}{x+4}\ge0\end{array}

On étudie ensuite le signe de l’expression restante via un tableau de signe :

\begin{array}{|c|c||c|c|}
\hline \\
x & ]- \infty; -4[ & ]-4;1[ & ]1;+\infty[ \\ \\
\hline
\hline\\
x+4 & -&+&+\\\\
\hline\\
x-1 &-&-&+ \\\\
\hline\\
\dfrac{x-1}{x+4}&+&-&+ \\\\
\hline
\end{array}

Le double trait représente le point où la fonction n’est pas définie
La solution est donc ]-∞;-4[ U [1;+∞[

Exercices

Exercice 1
Donner à quel intervalle appartient 1/x lorsque

\begin{array}{l}x\ \in\left[1;10\right]\\
x\ \in[0;3[\\
x\ \in\left[-2;2\right]\end{array}

Exercice 2
On appelle f la fonction définie par

 f\left(x\right)\ =\ \frac{4}{x-3}+2
  1. Déterminer l’ensemble de définition de f
  2. Démontrer que f est strictement décroissante sur ]-∞;3[
  3. Démontrer que f est strictement décroissante sur ]3;+∞[
  4. En déduire le tableau de variations de f

Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}\dfrac{x-3}{x-2}\ge0\\ \\
\dfrac{2x-5}{4x-3}\le2\\ \\
\dfrac{3x-4}{x-2}\ge3\end{array}

Exercice 4
Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants en fonction de a :

a,\ a^{2\ }et\ \frac{1}{a}

Exercice 5
Soit f la fonction définie par

f\left(x\right)\ =\ \dfrac{4x-3}{2x-5}
  1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
  2. Résoudre l’équation f(x) = 3
  3. Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a + b/(2x-5)
  4. 2 a-t-il un antécédent par f ?
  5. Tracer la courbe D représentative de la fonction f
    6. (Nécessite une connaissance sur les fonctions du second degré) : On pose g(x) = 3x. Etudier la position relative entre la courbe représentative de f et celle de g.

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