Exercices corrigés : Les groupes

Voici des énoncés d’exercices sur les groupes en mathématiques. Si vous souhaitez voir des énoncés, allez plutôt voir nos exercices de groupes.

Ces exercices sont faisables en MPSI ou en MP/MPI selon les notions demandées. Voici les énoncés :

Exercice 82

Il est assez évident que G ne peut pas être engendré par 1 seul élément : un groupe monogène est abélien. Or, G n’est pas abélien.

Comme G n’est pas abélien, il existe 2 éléments qui ne commutent pas entre eux :

\exists a,b \in G, ab \neq ba 

Le sous groupe engendré par a et b n’est pas abélien, en effet il contient ab et ba constitué de a et b et qui ne commutent pas. Or, tous les sous-groupes stricts de G sont abéliens. Donc a et b engendrent nécessairement G.

G est donc engendré par 2 éléments.

Exercice 84

On va admettre un résultat (qu’on démontrera peut-être dans un article dédié à cela) :

Un ensemble de matrices qui commutent entre elles est diagonalisable dans une même base.

Montrons que G est commutatif. On a

\forall A,B \in G, A^2=B^2 = I_n

Et donc, comme AB est encore dans G :

A = A^{-1}, B= B^{-1}, (AB) = (AB)^{-1}

Ce qui nous donne :

AB = (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = BA

Donc G est commutatif.
De plus,

X^2 -1 

annule tout élément de G. Donc tout élément de G est diagonalisable avec un spectre inclus dans {-1, 1}. Ils sont donc tous co-diagonalisables dans la même base. Toute matrice de G s’écrit alors

diag(\pm 1, \ldots, \pm1)

Et donc, G a au plus 2^n éléments.

Passons à la seconde partie de l’exercice.
Supposons, sans perte de généralité, que n > m. Dans ce cas, il existe un groupe, constitué par les matrices.

diag(\pm 1, \ldots, \pm1)

dont tous les éléments vérifient

A ^2 = I_n

Ce groupe est de cardinal 2ⁿ. Un tel groupe n’existe pas dans

Gl_m(\mathbb{R})

Dans un isomorphisme, on doit pouvoir trouver un isomorphisme entre chacun des sous-groupes. Ce qui fait que ces 2 groupes ne peuvent pas être isomorphes.

Exercice 87

Et démarrons dès maintenant sa démonstration !

Première partie. Supposons qu’on ait un isomorphisme

\varphi : \mathbb{Z}^2 \mapsto \mathbb{Z} 

On suppose que

\varphi (1,0)= k

et

\varphi (0,1)= l

Comme on regarde le groupe de manière additivité, on a

\varphi(l,-k) = l \varphi(1,0) - k \varphi(0,1) = lk -kl = 0 = \varphi(0,0)

Donc φ n’est pas injective. Donc ces deux groupes ne peuvent pas être isomorphes.

Passons à la seconde partie de la question :

• Si n = m, alors les groupes sont évidents de manière triviale
• Si n ≠ m, alors on va montrer que les deux groupes ne sont pas isomorphes. On va supposer qu’un tel isomorphisme, noté φ, existe

Sans perte de généralité, on va supposer que n > m. On va considérer les générateurs x_i tels que les coordonnées de x_i valent 0 sauf en pour la coordonnée i où elle vaudra 1. On va en fait faire un pivot de Gauss. A partir de là :

On prend, quitte à interchanger, x₁, tel que φ(x₁) ait sa première coordonnée non nulle. On l’utilise, via une combinaison linéaire, pour se créer n-1 vecteurs qui ont pour image une première coordonnée non nulle.

A partir de ces n-1 vecteurs, on crée, de même, n-2 vecteurs dont les images ont leur 2 premières coordonnées non nulles. En itérant m fois, on obtient n-m vecteurs dont l’image a ses m premières coordonnées non nulles. Or l’image a m coordonnées.
On peut donc trouver n-m vecteurs dans le noyau, ces morphismes ne peuvent donc être injectifs. En conclusion : n = m

Ces exercices vous ont plu ?