Exercices corrigés : Intégrales à paramètres

Découvrez 3 exercicés corrigés d’intégrales à paramètres.
Intégrale

Dans cet article, on corrigera 3 exercices, principalement sur le thème intégrales à paramètres. Ce sont donc des exercices de seconde année dans le supérieur, et notamment pour les prépas MP, PC, PSI et MPI.

Exercice 398

Enoncé

Intégrale à paramètres

Corrigé

On commence par justifier l’existence de l’intégrale en notant que :

\forall x\in\mathbb{R},\; \left|\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\cos(2tx)dt\right| \leq\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2} dt

Or, cette dernière intégrale est convergente (Intégrale de Gauss). Donc I est définie sur R.

Montrons maintenant que I est de classe C^{1} sur R, on vérifie point par point les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètres. On pose :

\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+}, \; f(x,t)=e^{-t^2}\cos(2tx)\\ 

On a :

\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+}, \; \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2te^{-t^2}\sin(2tx)
\begin{align*}
&\bullet \forall x\in\mathbb{R}, \; t\longmapsto f(x,t)\;\; \text{est continue et intégrable sur}\;\mathbb{R_+}\\
&\bullet \forall x\in\mathbb{R},\; t\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{R_+}\\
&\bullet \forall t\in\mathbb{R_+},\; x\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{R}\\
&\bullet\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+},\; \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| \leq 2te^{-t^2} = \varphi(t)
\end{align*}

Et,

\begin{align*}
&\bullet \;t\longmapsto\varphi(t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{[0,+\infty[}\\
&\bullet \;\varphi(t) = \underset{t\rightarrow +\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)\\
\end{align*}

Ce qui nous donne l’intégrabilité de φ sur R+. Donc, d’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, I est de classe C^{1} sur R et,

\forall x\in\mathbb{R}, \; I'(x) = \int_{0}^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt=-2\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sin(2tx)dt

On chercher à présent un lien entre I et I’, effectuer une IPP sur I semble convenir.

\forall x\in\mathbb{R^*}, \; I(x) = \left[\frac{e^{-t^2}\sin(2tx)}{2x}\right]_{0}^{+\infty}+\frac1x \int_{0}^{+\infty} te^{-t^2}\sin(2tx) dt

Le crochet est évidemment nul, on remarque directement le lien avec I’ et, on conclut que

\forall x\in\mathbb{R^*}, \; I(x) = -\frac{1}{2x}I'(x) \Longleftrightarrow \forall x\in\mathbb{R^*},\;I'(x) +2xI(x) = 0

On déduit que :

\exist\lambda\in\mathbb{R},\;\forall x\in\mathbb{R}, \; I(x) = \lambda e^{-x^2}

Afin de déterminer 𝛌, on utilise la continuité de I en 0, en effet : on a montré précédemment que I est de classe C^{1} sur R, elle est donc aussi de classe C^{0} sur R, (i.e continue sur R et en particulier en 0)

On a alors :

\begin{align*}
I(x)=\lambda e^{-x^2}&\underset{x\rightarrow0}{\longrightarrow} I(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\\
\text{et}\quad \lambda e^{-x^2}&\underset{x\rightarrow0}{\longrightarrow} \lambda
\end{align*}

Par unicité de la limite,

\lambda=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

Finalement,

\forall x\in\mathbb{R}, \; I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-x^2}

Ce qui conclut ce premier exercice !

Exercice 584

Enoncé

Etude d'intégrale impropre

Corrigé

Question 1

On commence par poser :

\forall(x,t)\in\mathbb{R}^2,\; g(x,t)=\frac{e^{-xt}}{1+t}

Soit x > 0, on a :

\begin{align*}
&\bullet t\longmapsto g(x,t) \;\; \text{est continue sur} \; [0,+\infty[ \\
&\bullet \;g(x,t)=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)
\end{align*}

Et g est à valeurs positives donc, par comparaison à une intégrale de Riemann, g est intégrable sur R+.

Donc,

\mathbb{R_+^{*}} \subseteq \mathcal{D}_{f}

Supposons maintenant x ≤ 0, alors :

\forall t\in\mathbb{R_+},\; g(x,t) \geq \frac{1}{1+t} \geq 0

Et puisque

\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+t}  \;\; \text{est divergente}

On déduit que

\int_{0}^{+\infty} g(x,t)dt  \;\; \text{est aussi divergente}

Finalement,

\mathcal{D}_{f}= \mathbb{R_+^{*}}

Question 2

On pourrait, pour cette question, utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètres et regarder le signe de f’. Puisqu’on l’a déjà utilisé dans l’exercice précédent, on propose de retourner à la définition même de la monotonie.

Soient y>x>0,

f(y)-f(x)=\int^{+\infty}_{0}\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{1+t}dt = \int^{+\infty}_{0}\frac{e^{-xt}}{1+t}(e^{-t(y-x)}-1)\;dt 

Et puisque

y>x \;\;\text{et}\;\; t>0, \;\; \text{on a : \;} e^{-t(y-x)}<1

On conclut alors que

f(y)-f(x)<0

Ceci étant vrai pour tout x,y tels que y>x>0, on déduit que

f \;\text{est décroissante sur} \; \mathbb{R^*_+}

Question 3

On souhaite appliquer, ici, le théorème de convergence dominée.

On prend,

(x_n) \;\text{une suite telle que} \; x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty

On pose :

g_n : t\in\mathbb{R_+^*}\longmapsto g(x_n,t)

On applique le Théorème de convergence dominée à cette suite de fonctions.

Tout d’abord, puisque (xn) diverge :

\exist n_0\in\mathbb{N}, \;\forall n\geq n_0,\; x_n \geq 1
\begin{align*}
& \bullet \forall t\in\mathbb{R_+^*},\; g_n(t)=\frac{e^{-x_{n}t}}{1+t}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}k(t)=0\\
& \bullet \forall n\geq n_0,\forall t\in\mathbb{R_+^*}, \;g_n(t)\leq \frac{e^{-t}}{1+t} = \psi(t)
\end{align*}

De plus, ψ est à valeurs positives et,

\begin{align*}
&\bullet\; \psi \; \text{est continue sur}\; [0,+\infty[\\
&\bullet \;\psi(t)=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)
\end{align*}

Donc ψ est intégrable sur R+ et, d’après le théorème de convergence dominée (TCD)

\int_{0}^{+\infty}g_n(t)\;dt \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \int_{0}^{+\infty}k(t)dt =0

Ceci étant vrai pour toute suite (x_{n}) divergente, on peut affirmer que :

\int_{0}^{+\infty}g(x,t)\;dt \underset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0

Ce qui conclut ce deuxième exercice !

Exercice 581

Enoncé

Intégrale impropre ECS

Corrigé

Question 1

Prenons x > 0,

\begin{align*}
&\bullet\;t\longmapsto\frac{e^{-t^2}}{t}\; \text{est continue sur}\;[x,+\infty[ \\
&\bullet\;\frac{e^{-t^2}}{t}=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)\\
\text{Donc}\quad &t\longmapsto\frac{e^{-t^2}}{t}\;\text{est intégrable sur} \;[x,+\infty[
\end{align*}

D’où l’existence de l’intégrale.

Question 2

Cela revient à montrer que l’intégrale ci-dessous converge.

\int_{0}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt  

Faisons le :

t\longmapsto\frac{1-e^{-t^2}}{t} \;\text{est continue sur ]0,1]}

Cependant, on peut prolonger cette fonction par continuité en 0, en effet :

\frac{1-e^{-t^2}}{t}\underset{t\rightarrow 0}{\sim}t\underset{t\rightarrow0}{\longrightarrow}0

On peut donc poser :

\phi:t\longmapsto \begin{cases}
 & \frac{1-e^{-t^2}}{t}\text{ si } t \ne 0 \\
 & 0 \quad\;\;\;\text{ si } t = 0
\end{cases}

Ainsi, ɸ est continue sur le segment [0,1], sont intégrale sur ce segment est donc convergente.

Question 3

Soit x > 0, puisque les deux morceaux de droite convergent (les fonctions mises en jeu sont continues sur le segment [x,1]), la ligne de calcul ci-dessous est licite.

\int_{x}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt = \int_{x}^{1}\frac{dt}{t}-\int_{x}^{1}\frac{e^{-t^2}}{t}dt

De plus,

-\int_{x}^{1}\frac{e^{-t^2}}{t}dt=\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt -\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt = f(1)-f(x)

Donc,

\int_{x}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt = -\ln(x)+f(1)-f(x)

Pour déterminer un équivalent, ou plutôt, la limite (puisqu’elle existe) de g en 0, il nous suffit de trouver un développement de f au voisinage de 0. Essayons :

f(x)=\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt

On substitue u = t² dans l’intégrale,

\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt = \frac12\int_{x^2}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u}du

On intègre ensuite par parties, en dérivant e^{-u}

\frac12\int_{x^2}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u}du=\frac12\left([e^{-u}\ln(u)]_{x^2}^{+\infty}+\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du\right)

L’IPP est licite puisque le crochet est nul au voisinage de l’infini, ce qui assure la convergence de la dernière intégrale.

f(x) = -\ln(x)e^{-x^2}+\frac12\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du

On peut vérifier que

\int_{0}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du \;\;\text{est convergente}

Certains reconnaîtront peut-être la dérivée de la fonction Γ puisqu’en effet :

\int_{0}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du=\Gamma'(1)

On a donc, d’après la question précédente,

g(x) = -\ln(x)+f(1)+\ln(x)e^{-x^2}-\frac12\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du

Ce qui donne, en faisant tendre x vers 0

g(0)=f(1)-\frac12\Gamma'(1)

Ce qui termine ce troisième exercice !

Exercice bonus

On propose également un dernier exercice (bonus), permettant de démontrer que :

\Gamma'(1)=-\gamma

où γ est la constante d’Euler, définie par :

\gamma = \underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)\right)

Voici l’énoncé de cet exercice bonus :

Gamma prime de -1
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