Dans cet article, on corrigera 3 exercices, principalement sur le thème intégrales à paramètres. Ce sont donc des exercices de seconde année dans le supérieur, et notamment pour les prépas MP, PC, PSI et MPI.
Exercice 398
Enoncé
Corrigé
On commence par justifier l’existence de l’intégrale en notant que :
\forall x\in\mathbb{R},\; \left|\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\cos(2tx)dt\right| \leq\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2} dtOr, cette dernière intégrale est convergente (Intégrale de Gauss). Donc I est définie sur R.
Montrons maintenant que I est de classe C^{1} sur R, on vérifie point par point les hypothèses du théorème de dérivation des intégrales à paramètres. On pose :
\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+}, \; f(x,t)=e^{-t^2}\cos(2tx)\\ On a :
\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+}, \; \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2te^{-t^2}\sin(2tx)\begin{align*}
&\bullet \forall x\in\mathbb{R}, \; t\longmapsto f(x,t)\;\; \text{est continue et intégrable sur}\;\mathbb{R_+}\\
&\bullet \forall x\in\mathbb{R},\; t\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{R_+}\\
&\bullet \forall t\in\mathbb{R_+},\; x\longmapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{R}\\
&\bullet\forall(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R_+},\; \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| \leq 2te^{-t^2} = \varphi(t)
\end{align*}Et,
\begin{align*}
&\bullet \;t\longmapsto\varphi(t)\;\; \text{est continue sur} \; \mathbb{[0,+\infty[}\\
&\bullet \;\varphi(t) = \underset{t\rightarrow +\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)\\
\end{align*}Ce qui nous donne l’intégrabilité de φ sur R+. Donc, d’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, I est de classe C^{1} sur R et,
\forall x\in\mathbb{R}, \; I'(x) = \int_{0}^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt=-2\int_{0}^{+\infty}te^{-t^2}\sin(2tx)dtOn chercher à présent un lien entre I et I’, effectuer une IPP sur I semble convenir.
\forall x\in\mathbb{R^*}, \; I(x) = \left[\frac{e^{-t^2}\sin(2tx)}{2x}\right]_{0}^{+\infty}+\frac1x \int_{0}^{+\infty} te^{-t^2}\sin(2tx) dtLe crochet est évidemment nul, on remarque directement le lien avec I’ et, on conclut que
\forall x\in\mathbb{R^*}, \; I(x) = -\frac{1}{2x}I'(x) \Longleftrightarrow \forall x\in\mathbb{R^*},\;I'(x) +2xI(x) = 0On déduit que :
\exist\lambda\in\mathbb{R},\;\forall x\in\mathbb{R}, \; I(x) = \lambda e^{-x^2}Afin de déterminer 𝛌, on utilise la continuité de I en 0, en effet : on a montré précédemment que I est de classe C^{1} sur R, elle est donc aussi de classe C^{0} sur R, (i.e continue sur R et en particulier en 0)
On a alors :
\begin{align*}
I(x)=\lambda e^{-x^2}&\underset{x\rightarrow0}{\longrightarrow} I(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\\
\text{et}\quad \lambda e^{-x^2}&\underset{x\rightarrow0}{\longrightarrow} \lambda
\end{align*}Par unicité de la limite,
\lambda=\frac{\sqrt{\pi}}{2}Finalement,
\forall x\in\mathbb{R}, \; I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-x^2}Ce qui conclut ce premier exercice !
Exercice 584
Enoncé
Corrigé
Question 1
On commence par poser :
\forall(x,t)\in\mathbb{R}^2,\; g(x,t)=\frac{e^{-xt}}{1+t}Soit x > 0, on a :
\begin{align*}
&\bullet t\longmapsto g(x,t) \;\; \text{est continue sur} \; [0,+\infty[ \\
&\bullet \;g(x,t)=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)
\end{align*}Et g est à valeurs positives donc, par comparaison à une intégrale de Riemann, g est intégrable sur R+.
Donc,
\mathbb{R_+^{*}} \subseteq \mathcal{D}_{f}Supposons maintenant x ≤ 0, alors :
\forall t\in\mathbb{R_+},\; g(x,t) \geq \frac{1}{1+t} \geq 0Et puisque
\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1+t} \;\; \text{est divergente}On déduit que
\int_{0}^{+\infty} g(x,t)dt \;\; \text{est aussi divergente}Finalement,
\mathcal{D}_{f}= \mathbb{R_+^{*}}Question 2
On pourrait, pour cette question, utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètres et regarder le signe de f’. Puisqu’on l’a déjà utilisé dans l’exercice précédent, on propose de retourner à la définition même de la monotonie.
Soient y>x>0,
f(y)-f(x)=\int^{+\infty}_{0}\frac{e^{-yt}-e^{-xt}}{1+t}dt = \int^{+\infty}_{0}\frac{e^{-xt}}{1+t}(e^{-t(y-x)}-1)\;dt Et puisque
y>x \;\;\text{et}\;\; t>0, \;\; \text{on a : \;} e^{-t(y-x)}<1On conclut alors que
f(y)-f(x)<0
Ceci étant vrai pour tout x,y tels que y>x>0, on déduit que
f \;\text{est décroissante sur} \; \mathbb{R^*_+}Question 3
On souhaite appliquer, ici, le théorème de convergence dominée.
On prend,
(x_n) \;\text{une suite telle que} \; x_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\inftyOn pose :
g_n : t\in\mathbb{R_+^*}\longmapsto g(x_n,t)On applique le Théorème de convergence dominée à cette suite de fonctions.
Tout d’abord, puisque (xn) diverge :
\exist n_0\in\mathbb{N}, \;\forall n\geq n_0,\; x_n \geq 1\begin{align*}
& \bullet \forall t\in\mathbb{R_+^*},\; g_n(t)=\frac{e^{-x_{n}t}}{1+t}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}k(t)=0\\
& \bullet \forall n\geq n_0,\forall t\in\mathbb{R_+^*}, \;g_n(t)\leq \frac{e^{-t}}{1+t} = \psi(t)
\end{align*}De plus, ψ est à valeurs positives et,
\begin{align*}
&\bullet\; \psi \; \text{est continue sur}\; [0,+\infty[\\
&\bullet \;\psi(t)=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)
\end{align*}Donc ψ est intégrable sur R+ et, d’après le théorème de convergence dominée (TCD)
\int_{0}^{+\infty}g_n(t)\;dt \underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow} \int_{0}^{+\infty}k(t)dt =0Ceci étant vrai pour toute suite (x_{n}) divergente, on peut affirmer que :
\int_{0}^{+\infty}g(x,t)\;dt \underset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0Ce qui conclut ce deuxième exercice !
Exercice 581
Enoncé
Corrigé
Question 1
Prenons x > 0,
\begin{align*}
&\bullet\;t\longmapsto\frac{e^{-t^2}}{t}\; \text{est continue sur}\;[x,+\infty[ \\
&\bullet\;\frac{e^{-t^2}}{t}=\underset{t\rightarrow+\infty}{o}\left(\frac{1}{t^2}\right)\\
\text{Donc}\quad &t\longmapsto\frac{e^{-t^2}}{t}\;\text{est intégrable sur} \;[x,+\infty[
\end{align*}D’où l’existence de l’intégrale.
Question 2
Cela revient à montrer que l’intégrale ci-dessous converge.
\int_{0}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt Faisons le :
t\longmapsto\frac{1-e^{-t^2}}{t} \;\text{est continue sur ]0,1]}Cependant, on peut prolonger cette fonction par continuité en 0, en effet :
\frac{1-e^{-t^2}}{t}\underset{t\rightarrow 0}{\sim}t\underset{t\rightarrow0}{\longrightarrow}0On peut donc poser :
\phi:t\longmapsto \begin{cases}
& \frac{1-e^{-t^2}}{t}\text{ si } t \ne 0 \\
& 0 \quad\;\;\;\text{ si } t = 0
\end{cases}Ainsi, ɸ est continue sur le segment [0,1], sont intégrale sur ce segment est donc convergente.
Question 3
Soit x > 0, puisque les deux morceaux de droite convergent (les fonctions mises en jeu sont continues sur le segment [x,1]), la ligne de calcul ci-dessous est licite.
\int_{x}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt = \int_{x}^{1}\frac{dt}{t}-\int_{x}^{1}\frac{e^{-t^2}}{t}dtDe plus,
-\int_{x}^{1}\frac{e^{-t^2}}{t}dt=\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt -\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt = f(1)-f(x)Donc,
\int_{x}^{1}\frac{1-e^{-t^2}}{t}dt = -\ln(x)+f(1)-f(x)Pour déterminer un équivalent, ou plutôt, la limite (puisqu’elle existe) de g en 0, il nous suffit de trouver un développement de f au voisinage de 0. Essayons :
f(x)=\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dtOn substitue u = t² dans l’intégrale,
\int_{x}^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{t}dt = \frac12\int_{x^2}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u}duOn intègre ensuite par parties, en dérivant e^{-u}
\frac12\int_{x^2}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u}du=\frac12\left([e^{-u}\ln(u)]_{x^2}^{+\infty}+\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du\right)L’IPP est licite puisque le crochet est nul au voisinage de l’infini, ce qui assure la convergence de la dernière intégrale.
f(x) = -\ln(x)e^{-x^2}+\frac12\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)duOn peut vérifier que
\int_{0}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du \;\;\text{est convergente}Certains reconnaîtront peut-être la dérivée de la fonction Γ puisqu’en effet :
\int_{0}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)du=\Gamma'(1)On a donc, d’après la question précédente,
g(x) = -\ln(x)+f(1)+\ln(x)e^{-x^2}-\frac12\int_{x^2}^{+\infty}e^{-u}\ln(u)duCe qui donne, en faisant tendre x vers 0
g(0)=f(1)-\frac12\Gamma'(1)
Ce qui termine ce troisième exercice !
Exercice bonus
On propose également un dernier exercice (bonus), permettant de démontrer que :
\Gamma'(1)=-\gamma
où γ est la constante d’Euler, définie par :
\gamma = \underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)\right)Voici l’énoncé de cet exercice bonus :
