Exercices corrigés : Convexité

Voici des exercices corrigés détaillés sur la convexité.
Convexité oeuf

Voici des énoncés d’exercices sur la convexité en mathématiques. Si vous souhaitez voir des énoncés, allez plutôt voir nos exercices de groupes.

Ces exercices sont faisables en MPSI. Voici les énoncés :

Exercice 1

Enoncé

Inéquation convexe

Celui-ci n’est pas le plus compliqué, mais c’est bien pour s’échauffer. Soit f définie par

f(x) = \ln(x)

On a :

f'(x) = \dfrac{1}{x}

Et en redérivant une seconde fois :

f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0

La dérivée seconde de f étant négative, on peut dire que f est concave. On applique alors l’inégalité de concavité à la fonction logarithme :

\forall t \in [0,1], \forall a,b \in \mathbb{R}_+^* , tf(a)+(1-t) f(b) \leq f(ta+(1-t)b)

On prend ensuite t = 1/2 :

\dfrac{1}{2}(\ln(a)+\ln(b) )\leq \ln \left(\dfrac{a+b}{2}\right)

Démonstration de l’inégalité arithmético-géométrique

Enoncé

Inégalité arithmético-géométrique

Corrigé

On va là aussi utiliser la concavité du logarithme. Mais on va utiliser la forme la plus générale de l’inégalité de concavité appelée aussi, inégalité de Jensen dans le cas convexe :

\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \sum_{i=1}^n \lambda_i=1\Rightarrow\sum_{i=1}^n \lambda_i f(a_i) \leq f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i \right)

En prenant :

\forall i \in \{1,\ldots,n \}, \lambda_i = \dfrac{1}{n}

On obtient :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(a_i) \leq  f\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln(a_i) \leq  \ln\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle \ln\left(\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}}\right) \leq\ln\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}} \leq\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i 
\end{array}

Ce qui démontre bien l’inégalité arithmético-géométrique

Cette inégalité arithmético-géométrique permet de démontrer l’exercice suivant :

Inégalité arithmético-géométrique

Exercice 3

Enoncé

Inégalité de convexité

Corrigé

Question 1

Commençons par démontrer le fait suivant. La fonction

f:x \mapsto \ln(1+e^{x}) 

est convexe. En effet, calculons sa dérivée seconde :

\begin{array}{l}
f'(x) = \dfrac{e^x}{1+e^x}\\
f''(x) = \dfrac{e^x(1+e^x)-e^xe^x}{(1+e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} > 0
\end{array}

Et donc f est bien convexe. On a donc, d’après l’inégalité de Jensen :

\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \sum_{i=1}^n \lambda_i=1 \Rightarrow f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)

En prenant

\lambda_i = \dfrac{1}{n}

On obtient :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle\ln \left(1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \right)\leq \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{n}\ln(1+\exp(x_i))\\
\iff & \displaystyle\ln \left(1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \right)\leq \ln\left(\prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\right)\\
\iff & \displaystyle1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
\iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n e^{x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
\end{array}

Question 2

Maintenant, posons :

x_i = \ln \left(\dfrac{a_i}{b_i} \right) \iff e^{x_i} = \dfrac{a_i}{b_i} 

Ce qui est légitimie par positivité des ai et bi.
On va le remplacer dans l’inégalité obtenue juste avant :

\begin{array}{ll}
 & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n e^{x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
 \iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n  \dfrac{a_i}{b_i}  \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left(1+ \dfrac{a_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}}\\
 \iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n  \dfrac{a_i}{b_i}  \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left( \dfrac{a_i+b_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}}\\
 \iff & \displaystyle1+\dfrac{\displaystyle\left(\prod_{i=1}^n a_i  \right)^{\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(\prod_{i=1}^n  {b_i}  \right)^{\frac{1}{n}}} \leq \dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^n \left( a_i+b_i \right)^{\frac{1}{n}}}{\displaystyle\prod_{i=1}^n \left( b_i \right)^{\frac{1}{n}}}\\
 \iff & \displaystyle {\left(\prod_{i=1}^n  {b_i}  \right)^{\frac{1}{n}}}+\left(\prod_{i=1}^n a_i  \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left( a_i+b_i \right)^{\frac{1}{n}}\\
\end{array}

Corrigé en vidéo

Voici la correction en vidéo pour ceux qui préfèrent !

Ce qui est bien l’inégalité recherchée !

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