Voici des énoncés d’exercices sur la convexité en mathématiques. Si vous souhaitez voir des énoncés, allez plutôt voir nos exercices de groupes.
Ces exercices sont faisables en MPSI. Voici les énoncés :
Exercice 1
Enoncé
Celui-ci n’est pas le plus compliqué, mais c’est bien pour s’échauffer. Soit f définie par
f(x) = \ln(x)
On a :
f'(x) = \dfrac{1}{x}Et en redérivant une seconde fois :
f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0La dérivée seconde de f étant négative, on peut dire que f est concave. On applique alors l’inégalité de concavité à la fonction logarithme :
\forall t \in [0,1], \forall a,b \in \mathbb{R}_+^* , tf(a)+(1-t) f(b) \leq f(ta+(1-t)b)On prend ensuite t = 1/2 :
\dfrac{1}{2}(\ln(a)+\ln(b) )\leq \ln \left(\dfrac{a+b}{2}\right)Démonstration de l’inégalité arithmético-géométrique
Enoncé
Corrigé
On va là aussi utiliser la concavité du logarithme. Mais on va utiliser la forme la plus générale de l’inégalité de concavité appelée aussi, inégalité de Jensen dans le cas convexe :
\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \sum_{i=1}^n \lambda_i=1\Rightarrow\sum_{i=1}^n \lambda_i f(a_i) \leq f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i \right)En prenant :
\forall i \in \{1,\ldots,n \}, \lambda_i = \dfrac{1}{n}On obtient :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(a_i) \leq f\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln(a_i) \leq \ln\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle \ln\left(\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}}\right) \leq\ln\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \right)\\
\iff & \displaystyle\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)^{\frac{1}{n}} \leq\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i
\end{array}Ce qui démontre bien l’inégalité arithmético-géométrique
Cette inégalité arithmético-géométrique permet de démontrer l’exercice suivant :
Exercice 3
Enoncé
Corrigé
Question 1
Commençons par démontrer le fait suivant. La fonction
f:x \mapsto \ln(1+e^{x}) est convexe. En effet, calculons sa dérivée seconde :
\begin{array}{l}
f'(x) = \dfrac{e^x}{1+e^x}\\
f''(x) = \dfrac{e^x(1+e^x)-e^xe^x}{(1+e^x)^2} = \dfrac{e^x}{(1+e^x)^2} > 0
\end{array}Et donc f est bien convexe. On a donc, d’après l’inégalité de Jensen :
\forall \lambda_1,\ldots,\lambda_n, \sum_{i=1}^n \lambda_i=1 \Rightarrow f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)En prenant
\lambda_i = \dfrac{1}{n}On obtient :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle\ln \left(1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \right)\leq \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{n}\ln(1+\exp(x_i))\\
\iff & \displaystyle\ln \left(1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \right)\leq \ln\left(\prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\right)\\
\iff & \displaystyle1+\exp\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
\iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n e^{x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
\end{array}Question 2
Maintenant, posons :
x_i = \ln \left(\dfrac{a_i}{b_i} \right) \iff e^{x_i} = \dfrac{a_i}{b_i} Ce qui est légitimie par positivité des ai et bi.
On va le remplacer dans l’inégalité obtenue juste avant :
\begin{array}{ll}
& \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n e^{x_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n(1+\exp(x_i))^{\frac{1}{n}}\\
\iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left(1+ \dfrac{a_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}}\\
\iff & \displaystyle1+\left(\prod_{i=1}^n \dfrac{a_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left( \dfrac{a_i+b_i}{b_i} \right)^{\frac{1}{n}}\\
\iff & \displaystyle1+\dfrac{\displaystyle\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{\frac{1}{n}}}{\displaystyle\left(\prod_{i=1}^n {b_i} \right)^{\frac{1}{n}}} \leq \dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^n \left( a_i+b_i \right)^{\frac{1}{n}}}{\displaystyle\prod_{i=1}^n \left( b_i \right)^{\frac{1}{n}}}\\
\iff & \displaystyle {\left(\prod_{i=1}^n {b_i} \right)^{\frac{1}{n}}}+\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{\frac{1}{n}} \leq \prod_{i=1}^n \left( a_i+b_i \right)^{\frac{1}{n}}\\
\end{array}Corrigé en vidéo
Voici la correction en vidéo pour ceux qui préfèrent !
Ce qui est bien l’inégalité recherchée !
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