Exercice corrigé : Théorème de Gauss-Lucas

Voici l’énoncé d’un exercice qui définit et permet de travailler autour des polynômes complexes pour démontrer le théorème de Gauss-Lucas. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des polynômes et plus précisément dans le sous-chapitre des polynômes complexes. C’est un exercice plutôt de seconde année dans le supérieur, il nécessite des connaissances en topologie et notamment de savoir ce qu’est une enveloppe convexe. En voici l’énoncé :

Et maintenant, la correction !

Démonstration du théorème de Gauss-Lucas

On peut utiliser le théorème de d’Alembert-Gauss et écrire P sous la forme :

P = \lambda \prod_{k=1}^r (X-\lambda_k)^{n_k}

où

r\geq 1, \lambda \in \mathbb{C}^*, \lambda_1, \ldots, \lambda_r\text{ sont les racines deux à deux distinctes de } P

Calculons sa dérivée P’ :

P' = \lambda \sum_{k=1}^r n_k(X-\lambda_k)^{n_k-1} \prod_{l \neq k} (X-\lambda_l)^{n_l}

Faisons le quotient entre P’ et P. La décomposition en éléments simples de P s’écrit alors :

\dfrac{P'}{P} =  \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{X-\lambda_k}

Soit z une racine de P’. Si z est aussi une racine de P, alors on a bien z dans l’enveloppe convexe de P, notée conv(P). Sinon, on a l’égalité suivante :

0 = \dfrac{P'(z)}{P(z)} =  \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{z-\lambda_k}

On multiplie ensuite par la quantité conjuguée :

0 =  \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{z-\lambda_k}  =\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k(\overline{z-\lambda_k})}{|z-\lambda_k |^2}

On prend ensuite le conjugué de cette quantité :

0 =\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k(z-\lambda_k)}{|z-\lambda_k |^2}

Ce qui fait qu’on peut ensuite écrire :

\begin{array}{l}
0 = \displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k(z-\lambda_k)}{|z-\lambda_k |^2}\\
\Leftrightarrow  \displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k z}{|z-\lambda_k |^2}= \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k\lambda_k}{|z-\lambda_k |^2}\\
\Leftrightarrow  \displaystyle z \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{|z-\lambda_k |^2}= \sum_{k=1}^r \dfrac{n_k\lambda_k}{|z-\lambda_k |^2}\\
\Leftrightarrow   z = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{|z-\lambda_k |^2}\lambda_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac{n_k}{|z-\lambda_k |^2}}\\
\end{array}

Donc z est la somme pondérée des λ_k avec comme facteur de pondération pour λ_k :

0 \leq \dfrac{\displaystyle\dfrac{n_k}{|z-\lambda_k |^2}}{\displaystyle\sum_{l=1}^r \dfrac{n_l}{|z-\lambda_l |^2}}\leq 1

z est donc un barycentre à coefficient strictement positif des λ_k.
Tout ceci nous permet de dire qu’on a bien démontré le théorème de Gauss-Lucas : L’enveloppe convexe de P’ est incluse dans l’enveloppe convexe de P.

Extension rapide

On en déduit facilement que pour tout v complexe, Conv(P’) ⊂ Conv(P − v)
Preuve : (P-v)’ = P’ et on applique à P-v le théorème de Gauss-Lucas.

Cet exercice vous a plu ?