Exercice corrigé : Théorème de Darboux

Découvrez la démonstration d’un grand classique lorsqu’on travaille la continuité : le théorème de Darboux
Théorème de Darboux

Le théorème de Darboux est un grand classique à connaitre quand on est dans le supérieur. Il indique que la dérivée d’une fonction vérifie le TVI. Voici dans cet article sa démonstration.

Table des matières

Prérequis

Enoncé

En voici son énoncé :

Théorème de Darboux

Corrigé

Et démarrons maintenant sa correction. Le théorème est équivalent à l’énoncé suivant : Soit f une fonction réelle, dérivable sur un intervalle [a;b][/katex<a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_r%C3%A9el">%5D</a&gt;. Pour tout réel [katex] k  compris entre f'(a) et f'(b) , il existe un réel c, compris entre a et b, tel que  k = f'(c).

Nous allons considérer les deux fonctions continues :

\varphi_a : \left \{\begin{array}{rcl} [a;b] & \to& \R \\ x & \mapsto &\left\{\begin{array}{lll} f'(a) & \text{si}& x= a\\
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}& \text{sinon}\end{array} \right.\end{array} \right.

Et de manière similaire :

\varphi_b : \left \{\begin{array}{rcl} [a;b] & \to& \R \\ x & \mapsto &\left\{\begin{array}{lll} f'(b) & \text{si}& x= b\\
\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}& \text{sinon}\end{array} \right.\end{array} \right.

Le théorème des valeurs intermédiaires nous indique que \varphi_a([a;b]) et \varphi_b([a;b]) sont deux intervalles. On remarque que ceux deux intervalles contiennent \varphi_b(a) = \varphi_a(b) . Ce qui fait qu'on en déduit que leur union est encore un intervalle. Cette union contient donc \varphi_a(a) = f'(a) et \varphi_b(b) = f'(b)

Soit k \in ]f'(a); f'(b) [ (ordre potentiellement inversé). Alors \exists l \in ]a,b[, k =\varphi_a(l) ou k \varphi_b(l). Donc en prenant par exemple le cas où k =\varphi_a(l), on a, d'après le théorème des accroissements finis que : \exists c \in ]a,l[, k = \varphi_a(l) = \dfrac{f(l)-f(a)}{l-a} =f'(c)

On a donc démontré le résultat voulu appelé théorème de Darboux.

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