Le théorème de Darboux est un grand classique à connaitre quand on est dans le supérieur. Il indique que la dérivée d’une fonction vérifie le TVI. Voici dans cet article sa démonstration.
Prérequis
Enoncé
En voici son énoncé :
Corrigé
Et démarrons maintenant sa correction. Le théorème est équivalent à l’énoncé suivant : Soit f une fonction réelle, dérivable sur un intervalle [a;b][/katex<a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_r%C3%A9el">%5D</a>. Pour tout réel [katex] k compris entre f'(a) et f'(b) , il existe un réel c, compris entre a et b, tel que k = f'(c).
Nous allons considérer les deux fonctions continues :
\varphi_a : \left \{\begin{array}{rcl} [a;b] & \to& \R \\ x & \mapsto &\left\{\begin{array}{lll} f'(a) & \text{si}& x= a\\
\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}& \text{sinon}\end{array} \right.\end{array} \right.Et de manière similaire :
\varphi_b : \left \{\begin{array}{rcl} [a;b] & \to& \R \\ x & \mapsto &\left\{\begin{array}{lll} f'(b) & \text{si}& x= b\\
\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}& \text{sinon}\end{array} \right.\end{array} \right.Le théorème des valeurs intermédiaires nous indique que \varphi_a([a;b]) et \varphi_b([a;b]) sont deux intervalles. On remarque que ceux deux intervalles contiennent \varphi_b(a) = \varphi_a(b) . Ce qui fait qu'on en déduit que leur union est encore un intervalle. Cette union contient donc \varphi_a(a) = f'(a) et \varphi_b(b) = f'(b)
Soit k \in ]f'(a); f'(b) [ (ordre potentiellement inversé). Alors \exists l \in ]a,b[, k =\varphi_a(l) ou k \varphi_b(l). Donc en prenant par exemple le cas où k =\varphi_a(l), on a, d'après le théorème des accroissements finis que : \exists c \in ]a,l[, k = \varphi_a(l) = \dfrac{f(l)-f(a)}{l-a} =f'(c)
On a donc démontré le résultat voulu appelé théorème de Darboux.
