Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des ensembles et celui des injections, surjections et bijections. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur mais il peut rester difficile pour un deuxième année. En voici l’énoncé :

Et voici sa correction !
Un lemme préliminaire
Tout d’abord, montrons le lemme suivant :
Si u est une application injective d’un ensemble A vers une de ses parties B alors il existe une bijection de A vers B.
Prenons maintenant la suite d’ensembles (Cn) définie par ;
\begin{array}{l} C_0 = A \backslash B\\ \forall n \in \mathbb{N^*}, C_n = u(C_{n-1}) \end{array}
On pose ensuite C la réunion de tous les ensembles :
C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n
Posons ensuite v l’application de A dans B définie par :
\begin{array}{ll} v: & x\in C \rightarrow u(x) \\ &x \notin C \rightarrow x \end{array}
v est bien à valeur dans B :
\begin{array}{l} \text{Si } x \in C, u(x) \in B\\ \text{Si } x \notin C \Rightarrow x \notin C_0 = A \backslash B \Rightarrow x \in B \end{array}
Montrons alors que v est bijective.
v est injective :
Soient x et y dans B tels que
v(x) = v(y)
3 choix :
- Si x \in C et y \in C : Dans ce cas : v(x) = u(x) = v(y) = u(y). Comme u est injective, on a x = y
- Si x \in C et y \notin C ou x \notin C et y \in C . Dans ce cas v(x) = u(x) \in C et v(y) = y \notin C. Ce cas est impossible
- Si x \notin C et y \notin C. Dans ce cas v(x) = x et v(y) = y et donc x = y
v est surjective :
Soit y \in B . On cherche x tel que v(x) = y. On a cette fois 2 cas :
- y \in C . Dans ce cas, comme C_0 = A \backslash B, y \notin C_0 . Donc il existe un k > 0 tel que y \in C_k,. Et donc, y\in u(C_{k-1}). Donc on peut trouver x\in C_{k-1} tel que y = u(x)
- y \notin C. Dans ce cas x = y convient.
On en conclut donc que v est bijective, ce qui démontre notre lemme préliminaire.
Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
Notons f l’injection de E vers F et g l’injection de F vers E.
Notons aussi B = g(F). g est donc bijective de F vers B. Notons h cette restriction à B.
On a obtient donc que u = g o f est une injection (en tant que composée d’injections) de E dans B, sous ensemble de E.
D’après le lemme préliminaire, on sait qu’il existe une bijection v de E sur B.
Si on résume, on a obtenu que :
- h est une bijection de F vers B
- v est une bijection de E vers B
Considérons donc k = h-1o v. Par composition de bijection, k est une bijection de E vers F.
Avec ceci on a bien démontré le théorème de Cantor-Bernstein !
Cet exercice vous a plu ?
bonjour,
dans la démonstration de la surjectivité de:
v est surjective :
Soit y ∈ B. On cherche x tel que v(x) = y. On a cette fois 2 cas :
y ∈ C. Dans ce cas, comme C0 = A \ B. y ∉ C0. Donc il existe un k > 0 tel que y ∈ Ck. Et donc, y ∈ u(Ck-1). Donc on peut trouver x ∈ Ck-1 tel que y = u(x)
pourquoi n’appartient-il à C0 ?
Merci d’avance de votre réponse
Julien Razafinimanana
Salut,
C0 c’est A exclus de B
Or, y appartient à B.
Donc nécessairement y ne peut pas appartenir à C0. C’est clair pour toi ?