Voici un énoncé sur un type de série bien connu : les séries de Bertrand. Les séries de Riemann en sont un cas particulier. Elles ne sont pas explicitement au programme, mais c’est bien de savoir les refaire.
Cet exercice est faisable en fin de MPSI. En voici son énoncé :

Cas 1 : alpha > 1
Dans ce cas, on va montrer qu’indépendamment de β, la série converge. On pose
\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2} > 1
On a :
\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}}{\frac{1}{n^{\gamma}}}= \lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^{\gamma - \alpha}}{\ln n^{\beta}} = 0
Ce qui fait que :
\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}} = o\left( \frac{1}{n^{\gamma}}\right)
Et donc, comme la série des
\frac{1}{n^{\gamma}}
converge (série de Riemann), on obtient, par comparaison de séries à termes positifs que la série des
\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}
converge
Cas 2 : alpha < 1
On va aussi montrer qu’indépendamment de β, la série diverge. Posons là aussi
\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2} < 1
On a :
\lim_{n \to + \infty} \dfrac{\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}}{\frac{1}{n^{\gamma}}}= \lim_{n \to + \infty} \dfrac{n^{\gamma - \alpha}}{\ln n^{\beta}} = +\infty
Ce qui fait que :
\frac{1}{n^{\gamma}}= o\left( \frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}\right)
Et donc, comme la série des
\frac{1}{n^{\gamma}}
diverge (série de Riemann), on obtient, par comparaison de séries à termes positifs que la série des
\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}
diverge
Cas 3 : alpha = 1
Sous-cas 1 : beta ≠ 1
On va utiliser la comparaison série-intégrale. La suite u définie par
u_n = \dfrac{1}{n \ln^{\beta}(n)}
est décroissante. On a donc, d’après le théorème de comparaison série-intégrale :
\int_{2}^{N+1} f(t) dt \leq \sum_{n=2}^N u_n \leq u_2 + \int_{2}^{N} f(t) dt
Avec f définie par
f(x) = \dfrac{1}{x \ln^{\beta}(x)}
Calculons ensuite l’intégrale :
\begin{array}{ll} \displaystyle \int_{2}^{N} f(t) dt &= \displaystyle \int_{2}^{N} \dfrac{1}{t \ln^{\beta}(t)} dt\\ & = \displaystyle\left[\dfrac{1}{1-\beta}\ln^{1-\beta}(t)\right]_2^N\\ &=\dfrac{1}{\beta+1}\left( \ln^{1-\beta}(N) - \ln^{1-\beta}(2) \right) \end{array}
On peut faire de même avec l’autre intégrale :
\int_{2}^{N+1} f(t) dt= \dfrac{1}{\beta+1}\left( \ln^{\beta+1}(N+1) - \ln^{\beta+1}(2) \right)
Par encadrement, on obtient alors que :
- Si beta > 1, alors la série converge
- Si beta < 1, alors la série diverge
Sous-cas 2 : beta = 1
On commence la démonstration pareil :
On va utiliser la comparaison série-intégrale. La suite u définie par
u_n = \dfrac{1}{n \ln(n)}
est décroissante. On a donc, d’après le théorème de comparaison série-intégrale :
\int_{2}^{N+1} f(t) dt \leq \sum_{n=2}^N u_n \leq u_2 + \int_{2}^{N} f(t) dt
Calculons alors l’intégrale :
\begin{array}{ll} \displaystyle \int_{2}^{N} f(t) dt &= \displaystyle \int_{2}^{N} \dfrac{1}{t \ln(t)} dt\\ & = \displaystyle\left[\ln(\ln(t))\right]_2^N\\ & \ln(\ln(N)) - \ln(\ln(2)) \end{array}
On peut faire de même avec l’autre intégrale :
\int_{2}^{N+1} f(t) dt= \ln(\ln(N+1)) - \ln(\ln(2))
Ce qui nous permet de conclure que la série est divergente.
Corrigé en vidéo
Et voici la correction de cet exercice en vidéo !
Résumé des résultats
- Si α > 1, la série converge
- Si α < 1, la série diverge
- Si α = 1 :
- Si β > 1, la série converge
- Si β ≤ 1, la série diverge
Cet exercice vous a plu ?