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Séries de Bertrand
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Exercice corrigé : Séries de Bertrand

Voici un énoncé sur un type de série bien connu : les séries de Bertrand. Les séries de Riemann en sont un cas particulier. Elles ne sont pas explicitement au programme, mais c’est bien de savoir les refaire.

Cet exercice est faisable en fin de MPSI. En voici son énoncé :

Séries de Bertrand

Cas 1 : alpha > 1

Dans ce cas, on va montrer qu’indépendamment de β, la série converge. On pose

\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2} > 1

On a :

\lim_{n \to + \infty}  \dfrac{\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}}{\frac{1}{n^{\gamma}}}= \lim_{n \to + \infty}  \dfrac{n^{\gamma - \alpha}}{\ln n^{\beta}}  = 0 

Ce qui fait que :

\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}} = o\left( \frac{1}{n^{\gamma}}\right)

Et donc, comme la série des

 \frac{1}{n^{\gamma}}

converge (série de Riemann), on obtient, par comparaison de séries à termes positifs que la série des

\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}} 

converge

Cas 2 : alpha < 1

On va aussi montrer qu’indépendamment de β, la série diverge. Posons là aussi

\gamma = \dfrac{1+\alpha}{2} < 1

On a :

\lim_{n \to + \infty}  \dfrac{\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}}{\frac{1}{n^{\gamma}}}= \lim_{n \to + \infty}  \dfrac{n^{\gamma - \alpha}}{\ln n^{\beta}}  = +\infty

Ce qui fait que :

 \frac{1}{n^{\gamma}}= o\left(  \frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}}\right)

Et donc, comme la série des

 \frac{1}{n^{\gamma}}

diverge (série de Riemann), on obtient, par comparaison de séries à termes positifs que la série des

\frac{1}{n^{\alpha}\ln n^{\beta}} 

diverge

Cas 3 : alpha = 1

Sous-cas 1 : beta ≠ 1

On va utiliser la comparaison série-intégrale. La suite u définie par

u_n = \dfrac{1}{n \ln^{\beta}(n)}

est décroissante. On a donc, d’après le théorème de comparaison série-intégrale :

\int_{2}^{N+1} f(t) dt \leq \sum_{n=2}^N u_n \leq u_2 + \int_{2}^{N} f(t) dt

Avec f définie par

f(x) = \dfrac{1}{x \ln^{\beta}(x)} 

Calculons ensuite l’intégrale :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_{2}^{N} f(t) dt &= \displaystyle \int_{2}^{N} \dfrac{1}{t \ln^{\beta}(t)} dt\\
& = \displaystyle\left[\dfrac{1}{1-\beta}\ln^{1-\beta}(t)\right]_2^N\\
&=\dfrac{1}{\beta+1}\left( \ln^{1-\beta}(N) - \ln^{1-\beta}(2) \right)
\end{array}

On peut faire de même avec l’autre intégrale :

\int_{2}^{N+1} f(t) dt= \dfrac{1}{\beta+1}\left( \ln^{\beta+1}(N+1) - \ln^{\beta+1}(2) \right)

Par encadrement, on obtient alors que :

  • Si beta > 1, alors la série converge
  • Si beta < 1, alors la série diverge

Sous-cas 2 : beta = 1

On commence la démonstration pareil :

On va utiliser la comparaison série-intégrale. La suite u définie par

u_n = \dfrac{1}{n \ln(n)} 

est décroissante. On a donc, d’après le théorème de comparaison série-intégrale :

\int_{2}^{N+1} f(t) dt \leq \sum_{n=2}^N u_n \leq u_2 + \int_{2}^{N} f(t) dt

Calculons alors l’intégrale :

\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_{2}^{N} f(t) dt &= \displaystyle \int_{2}^{N} \dfrac{1}{t \ln(t)} dt\\
& = \displaystyle\left[\ln(\ln(t))\right]_2^N\\
& \ln(\ln(N)) - \ln(\ln(2))
\end{array}

On peut faire de même avec l’autre intégrale :

\int_{2}^{N+1} f(t) dt= \ln(\ln(N+1)) - \ln(\ln(2))

Ce qui nous permet de conclure que la série est divergente.

Résumé des résultats

  • Si α > 1, la série converge
  • Si α < 1, la série diverge
  • Si α = 1 :
    • Si β > 1, la série converge
    • Si β ≤ 1, la série diverge

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