Exercice corrigé : Polynômes de Lagrange

Voici l’énoncé d’un exercice qui définit et permet de travailler autour des polynômes de Lagrange. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des polynômes et plus précisément dans le sous-chapitre des polynômes classiques. Ce chapitre est aussi très lié aux bases d’espaces vectoriels. C’est un exercice plutôt de première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Passons tout de suite à la correction de cet exercice !

Question 1

La question 1 est assez simple, calculons L_i(a_j)

• Cas 1 i = j : L_i(a_i) = \dfrac{\prod_{0 \leq j \leq n,j\neq i}(a_i-a_j)}{\prod_{0 \leq j \leq n,j\neq i}(a_i-a_j)} = 1
• Cas 2 : i \neq j , \displaystyle L_i(a_j) = \dfrac{\prod_{0 \leq k \leq n,k\neq i}(a_j-a_k)}{\prod_{0 \leq j \leq n,j\neq i}(a_i-a_j)} . On exclut le terme k = j, k\neq i : L_i(a_j) = \dfrac{(a_j-a_j)\prod_{0 \leq k \leq n,k\neq i,k\neq j}(a_j-a_k)}{\prod_{0 \leq j \leq n,j\neq i}(a_i-a_j)} =0

On a donc bien le résultat voulu :

• Si i = k : L_i(a_j) = 1
• Si i \neq j : L_i(a_j) = 0

On a donc bien le résultat demandé L_i(a_j) = \delta_{i,j}

Question 2

On va montrer le résultat suivant : La famille (L_i)_{0 \leq i \leq n} est une base de \mathbb{K}_n[X]

Premier point : Elle est de cardinal n+1. Il suffit donc de montrer que cette famille est libre pour obtenir que c’est une base. On va donc chercher (\lambda_0, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1} tels que \displaystyle \sum_{i=0}^n \lambda_i L_i =0.

Montrons que tous les λ_i sont nuls. Pour cela, identifions cette somme en a_j.

\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{i=0}^n \lambda_i L_i (a_j)=0 \\
\Leftrightarrow \displaystyle \sum_{i=0}^n \lambda_i \delta_{i,j}=0\\
\Leftrightarrow \displaystyle  \lambda_j \delta_{j,j}=0\\
\Leftrightarrow \lambda_j = 0
\end{array}

Et bien sûr, comme j a été choisi arbitrairement, c’est vrai pour tous entre 0 et n et donc \lambda_0 = \ldots = \lambda_n = 0.

La famille des L_i est donc libre. On en déduit donc que c’est une base.
Maintenant, prenons un polynôme quelconque P. D’après ce qu’on vient de faire \exists \lambda_0, \ldots, \lambda_n, P(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_i L_i(X)

Le but est maintenant d’identifier les λ_i. Pour cela, une fois de plus, identifions le polynôme en a_j.

\begin{array}{l} 
P(a_j) =\displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_i L_i(a_j)\\
 =\displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_i \delta_{i,j} \\
= \lambda_j \delta_{j,j} \\
= \lambda_j
\end{array}

On a donc bien identifié les λ_i. Notre polynôme P s’écrit donc P(X) =\displaystyle \sum_{i=0}^n P(a_i)L_i(X) .

Ce qui est bien le résultat voulu et permet de conclure l’exercice.

Corrigé en vidéo

Voici la correction en vidéo !

A quoi servent les polynômes de Lagrange ?

Admettons que vous disposiez de n points dans le plan. Vous cherchez alors une courbe qui passe par tous ces points. Vous vous tournez naturellement vers les polynômes. Alors le polynôme de degré minimal qui passe par tous ces points est de degré n-1 et il suffit d’appliquer la formule vue à la question 2 pour le calculer.

Essayez avec cet exemple
Soit P tel que P(1) = 3, P(2) = 5 et P(3) = 6. Trouver, grâce aux polynômes de Lagrange, le polynôme de degré 2 correspondant. Vous allez voir, les calculs sont en fait assez compliqués à mettre en œuvre à la main.

Et voici un exercice complémentaire : Essayez de faire la question 4 à l’aide des polynômes de Lagrange !

Cet exercice vous a plu ?