Exercice corrigé : Polynômes de Hilbert

Voici l’énoncé d’un exercice qui va utiliser les polynômes de Hilbert, dont on va démontrer diverses propriétés. C’est une famille de polynômes classiques. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des polynômes. C’est un exercice de première année dans le supérieur.

Et voici l’énoncé :

Enoncé

Corrigé

Les polynômes de Hilbert

Introduisons la famille des polynômes de Hilbert, définie par

H_0(X) = 1

Et,

\forall n \in \mathbb{N}^*, H_n(X) = \dfrac{X(X-1)\ldots (X-n+1)}{n!}

Quelques propriétés des polynômes de Hilbert

Le premier point : Cette famille de polynômes est échelonnée, c’est à dire que

\forall n \in \mathbb{N}^*, deg(H_n) = n

Donc, d’après le cours sur les polynômes, on peut en déduire que la famille des

(H_n)_{n \in \{0, \ldots, n \}}

est une base de

\mathbb{C}_n[X]

De plus, notons que si

0 \leq k \leq n-1 

Alors

H_n(k) = 0

De plus si k ≥ n, on a

H_n(k) = \dfrac{k(k-1)\ldots (k-n+1)}{n!} = \binom{k}{n}

Dans le cas où k < 0, on a :

\begin{array}{ll}
H_n(k) &= \dfrac{k(k-1)\ldots (k-n+1)}{n!} \\
&= (-1)^n  \dfrac{-k(1-k)\ldots (n-1-k)}{n!} \\
&= (-1)^n \displaystyle  \binom{n-1-k}{n}
\end{array}

En résumé : L’image par H_n d’un entier relatif est un entier relatif, très important pour la suite

La condition nécessaire et suffisante

On va montrer que

P(\Z) \subset \Z  \iff \exists a_0, \ldots, a_n \in \Z, P = \sum_{k=1}^n a_kH_k

Sens direct

Soit P un polynôme tel que

P(\Z) \subset \Z

Supposons que P est de degré n. Comme les n + 1 premiers polynômes de Hilbert, forment une base de

\mathbb{C}_n[X]

Alors,

\exists a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{C}, P = \sum_{k=1}^n a_kH_k

Maintenant montrons que

a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}

On va faire une récurrence sur {0,…,n}.
Initialisation :
On sait que

P(0) \in \mathbb{Z}

Or,

P(n) =  \sum_{k=1}^n a_kH_k(0) = a_0

Donc,

a_0 \in \Z

Hérédité :
Soit k un entier compris entre 0 et n-1. On suppose que

a_0, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}

Montrons que

a_{k+1} \in \mathbb{Z}

On a :

P(k+1)  \in \mathbb{Z}

Or,

P(k+1) = \sum_{i=1}^n a_iH_i(k+1) =\sum_{i=1}^{k+1} a_i\binom{k+1}{i}

En isolant a_k+1, on obtient :

a_{k+1} = P(k+1) - \sum_{i=1}^{k} a_i\binom{k+1}{i}

Ce qui, par hypothèse de récurrence, nous indique que a_k+1 est bien un entier relatif. L’hérédité est vérifiée. On a donc montré que :

a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}

Sens retour

C’est beaucoup plus facile avec les propriétés qu’on a montré :

Si

\exists a_0, \ldots, a_n \in \Z, P = \sum_{k=1}^n a_kH_k

Alors : Pour tout k un entier relatif :

P(k)= \sum_{i=1}^n a_iH_i(k) \in \Z

en tant que combinaison linéaire d’entiers relatifs car on a montré dans les propriétés que l’image de H_i par un entier relatif est un entier relatif.

Je vous propose aussi cette variante qui pourrait aussi vous donner du fil à retordre :

Cet exercice vous a plu ?