Voici la correction détaillée d’une planche d’exercices tombés à l’oral de Mines-Ponts en 2022. Ces exercices font appel aux chapitres des intégrales à paramètres et les matrices nilpotentes.
Exercice 1 : Analyse
Enoncé
Corrigé
Question 1
On pose
x = \tan (t)
On a
dx = \dfrac{dt}{\cos^2(t)}Passons au calcul de l’intégrale :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dt}{1 + a \sin^2(t)}\\
= &\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\frac{dt}{\cos^2(t)}}{\frac{1}{\cos^2(t)} + a \tan^2(t)}\\
= &\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{1+(1+a)x^2}\\
=& \displaystyle \left[\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\arctan \left( x\sqrt{a+1} \right) \right]_0^{+\infty}\\
=& \dfrac{\pi}{2 \sqrt{a+1}}
\end{array}Question 2
On a :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_0^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
=&\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
=_{(Q_1)}&\displaystyle \dfrac{\pi}{2 \sqrt{1 + (n\pi)^{\alpha}}}+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
\end{array}Pour la seconde intégrale, on pose
u = \pi -t \Rightarrow du = -dt
\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
= &\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\dfrac{-du}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(\pi-u)}\\
= &\displaystyle \int_{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{du}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(u)}\\
= & \dfrac{\pi}{2\sqrt{1+(n\pi)^{\alpha}}}
\end{array}
Donc,
\int_0^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{1+(n\pi)^{\alpha}}}= O\left( \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}\right)Par comparaison de séries à termes positifs à la série de Riemann, la somme converge si et seulement si α > 2.
Question 3
On a :
\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\leq &\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + t^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\leq &\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\end{array}En posant,
u = t-n \pi
On a :
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(t)}=\int_0^{\pi}\dfrac{du}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(u)}Et
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(t)}=\int_0^{\pi}\dfrac{du}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(u)}Ce qui nous donne un nouvel encadrement. Le résultat est alors immédiat en utilisant la question 2 : la somme converge si et seulement si α > 2.
Question 4
Sous réserve d’existence, on a :
\int_0^{+\infty} \dfrac{dt}{1+t^{\alpha}\sin^2(t)}= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + t^{\alpha}\sin^2(t)}Donc l’intégrale existe si et seulement si α > 2.
Cela conclut ce 1er exercice de planche Mines-Ponts
Exercice 2 : Algèbre
Enoncé
Corrigé
Question 1
Notons
p_0 = \min \{ m \in \N^*| A^m = 0\}Montrons alors que
p_0 \leq n
On a :
\exists X \in M_{n,1}(\R) | A^{p_0-1}X \neq 0 Alors,
(X,AX, \ldots, A^{p_0-1}X) est libre (lemme classique). Donc nécessairement p0 ≤ n. Et donc,
A^n = A^{n-p_0}A ^{p_0}=A^{n-p_0}\times 0 = 0Question 2
Regardons les valeurs propres de A + In. Comme A est nilpotente et que Xn est un polynôme annulateur de A, on a que le spectre de A est réduit à {0}. Le spectre de A + In est donc réduit à {1}. Ainsi, on a, en notant λi pour i entre 1 et n les n valeurs propres de A :
\det(A+I_n) = \prod_{i =1}^n \lambda_i = \prod_{i =1}^n 1 = 1Question 3
Si M est diagonalisable, comme M et A commutent, A laisse stable les sous-espaces propres de M et ainsi toute valeur propre de A+M est la somme d’une valeur propre de A et d’une valeur propre de M.
Comme les valeurs propres de A sont toutes nulles, les valeurs propres de A + M sont celles de M. Ainsi,
\det(A+M) = \det(M)
Dans le cas général, on va conclure par densité des matrices diagonalisables (qu’il faudrait prouver) et continuité du déterminant (facile à prouver). On a donc bien tout le temps :
\det(A+M) = \det(M)
Question 4
Il suffit de prendre
A = \begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}A est bien nilpotente. On va aussi prendre
M = \begin{pmatrix}
0 &0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}On a :
\det(A) + \det(M) = 0
Et
\det(A+M) = -1
Donc le résultat est faux de manière générale si A et M ne commutent pas.
Ceci conclut le second exercice de cette planche d’oral Mines-Ponts !
