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Mines-Ponts
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Oral Mines-Ponts 2022

Voici la correction détaillée d’une planche d’exercices tombés à l’oral de Mines-Ponts en 2022. Ces exercices font appel aux chapitres des intégrales à paramètres et les matrices nilpotentes.

Exercice 1 : Analyse

Enoncé

Inversion somme intégrale Mines-Ponts

Corrigé

Question 1

On pose

x = \tan (t)

On a

dx = \dfrac{dt}{\cos^2(t)}

Passons au calcul de l’intégrale :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dt}{1 + a \sin^2(t)}\\
 =  &\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\frac{dt}{\cos^2(t)}}{\frac{1}{\cos^2(t)} + a \tan^2(t)}\\
 =  &\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{1+(1+a)x^2}\\
=& \displaystyle \left[\dfrac{1}{\sqrt{a+1}}\arctan \left( \dfrac{x}{\sqrt{a+1}} \right) \right]_0^{+\infty}\\
=& \dfrac{\pi}{2 \sqrt{a+1}}
\end{array}

Question 2

On a :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_0^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
=&\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
=_{(Q_1)}&\displaystyle \dfrac{\pi}{2 \sqrt{1 + (n\pi)^{\alpha}}}+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
\end{array}

Pour la seconde intégrale, on pose

u = \pi -t \Rightarrow du = -dt
\begin{array}{ll}
 &\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}\\
= &\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\dfrac{-du}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(\pi-u)}\\
= &\displaystyle \int_{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{du}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(u)}\\
= & \dfrac{\pi}{2\sqrt{1+(n\pi)^{\alpha}}}
\end{array}

Donc,

   \int_0^{\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}=\dfrac{\pi}{\sqrt{1+(n\pi)^{\alpha}}}= O\left( \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}\right)

Par comparaison de séries à termes positifs à la série de Riemann, la somme converge si et seulement si α > 2.

Question 3

On a :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\leq &\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + t^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\leq &\displaystyle \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(t)} \\
\end{array}

En posant,

u = t-n \pi

On a :

\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(t)}=\int_0^{\pi}\dfrac{du}{1 + ((n+1)\pi)^{\alpha}\sin^2(u)}

Et

\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(t)}=\int_0^{\pi}\dfrac{du}{1 + (n\pi)^{\alpha}\sin^2(u)}

Ce qui nous donne un nouvel encadrement. Le résultat est alors immédiat en utilisant la question 2 : la somme converge si et seulement si α > 2.

Question 4

Sous réserve d’existence, on a :

\int_0^{+\infty} \dfrac{dt}{1+t^{\alpha}\sin^2(t)}= \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\dfrac{dt}{1 + t^{\alpha}\sin^2(t)}

Donc l’intégrale existe si et seulement si α > 2.

Cela conclut ce 1er exercice de planche Mines-Ponts

Exercice 2 : Algèbre

Enoncé

Matrice nilpotent et commutant

Corrigé

Question 1

Notons

p_0 = \min \{ m \in \N^*| A^m = 0\}

Montrons alors que

p_0 \leq n

On a :

\exists X \in M_{n,1}(\R) | A^{p_0-1}X \neq 0 

Alors,

(X,AX, \ldots, A^{p_0-1}X) 

est libre (lemme classique). Donc nécessairement p0 ≤ n. Et donc,

A^n = A^{n-p_0}A ^{p_0}=A^{n-p_0}\times 0 = 0

Question 2

Regardons les valeurs propres de A + In. Comme A est nilpotente et que Xn est un polynôme annulateur de A, on a que le spectre de A est réduit à {0}. Le spectre de A + In est donc réduit à {1}. Ainsi, on a, en notant λi pour i entre 1 et n les n valeurs propres de A :

\det(A+I_n) = \prod_{i =1}^n \lambda_i = \prod_{i =1}^n 1 = 1

Question 3

Si M est diagonalisable, comme M et A commutent, A laisse stable les sous-espaces propres de M et ainsi toute valeur propre de A+M est la somme d’une valeur propre de A et d’une valeur propre de M.
Comme les valeurs propres de A sont toutes nulles, les valeurs propres de A + M sont celles de M. Ainsi,

\det(A+M) = \det(M) 

Dans le cas général, on va conclure par densité des matrices diagonalisables (qu’il faudrait prouver) et continuité du déterminant (facile à prouver). On a donc bien tout le temps :

\det(A+M) = \det(M) 

Question 4

Il suffit de prendre

A = \begin{pmatrix}
0 &1 \\
0 & 0  
\end{pmatrix}

A est bien nilpotente. On va aussi prendre

M = \begin{pmatrix}
0 &0 \\
1 & 0  
\end{pmatrix}

On a :

\det(A) + \det(M) = 0

Et

\det(A+M) = -1

Donc le résultat est faux de manière générale si A et M ne commutent pas.

Ceci conclut le second exercice de cette planche d’oral Mines-Ponts !

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