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Lemme de Césaro
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Lemme de Césaro

Voici l’énoncé d’un exercice sur le lemme de Césaro, un lemme bien connu sur les limites de suites. C’est un exercice associé au chapitre de suites, et plus précisément au chapitre des limites de suites. Cet exercice est classique et donc il est bien de la connaitre. En voici l’énoncé :

Lemme de Césaro

Cas 1 : l = 0

Supposons dans un premier temps que l = 0. Nous reviendrons au cas général dans un second temps.

\begin{array}{l}
\text{Soit } \varepsilon > 0\\
\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |u_n| \leq \varepsilon \\
\end{array}

Maintenant, on va faire le découpage suivant :

\begin{array}{l}
v_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k =  \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+  \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k
\end{array}

Le terme

\displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k

Ne dépend pas de n. Donc, pour un n1 assez grand, on a :

\exists n_1\in \mathbb{N}, \forall n \geq n_1,\dfrac{1}{n}\displaystyle\left| \sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|\leq \varepsilon 

De plus, par définition de n0 :

\begin{array}{l}
\left|\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right| \\
\leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n \left| u_k \right| \\
\displaystyle \leq \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon \\
\displaystyle \leq\dfrac{1}{n} (n-n_0) \varepsilon\\
\leq \varepsilon
\end{array}

Maintenant, rassemblons les deux morceaux :

\begin{array}{l}
|v_n| = \left| \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n u_k\right|\\
=\left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+  \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k\right|\\
\leq \left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+  \left| \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right|\\
\leq \left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+   \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n\left| u_k \right|\\
 \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon 
\end{array}

Comme Ɛ a été choisi arbitrairement, on obtient bien le fait que :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = 0

Ce qui prouve bien le résultat voulu dans le cas où la limite vaut 0.

Cas 2 : l quelconque

Vous en avez marre des epsilons ? Rassurez-vous, il n’y en a pas besoin pour cette seconde partie. On va poser la suite w la suite définie définie par :

w_n = u_n -l 

Voici la limite de la suite w, le calcul est simple :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} w_n = l-l=0

On a donc, d’après le cas 1 qu’on a démontré juste avant :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

Or, si on simplifie cette somme, on obtient :

\begin{array}{l}
\displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n \\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n (u_n-l)\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n l\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle  \dfrac{1}{n} ln\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- l\\
=v_n - l
\end{array}

Ce qui nous donne donc le résultat suivant :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

On peut donc conclure :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} v_n =\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n= l

On a donc démontré le lemme de Césaro dans le cas général !

Deux généralisations

Première généralisation : La limite peut en fait être infinie !

Lemme de Césaro généralisation

Seconde généralisation : On peut faire le même genre de raisonnement mais avec une expression plus compliquée !

Variante de Césaro

Cet exercice vous a plu ?

4 COMMENTS

  1. Bonjour, j’aimerais comprendre un petit plus le premier cas où on utilise n1 à un moment donné pour re-supposer que la somme est inférieure à epsilon. Puisque epsilon étant déjà supposé en 1er lieu on ne devrait plus avoir ce résultat (qui me semble pas compréhensible), attention je ne dénonce pas que ceci soit faux, je suis juste un élève en prépa qui essaie de comprendre l’idée derrière cette démonstration ;), histoire de me l’approprier et non de bûcher. Merci d’avance.

    • Bonjour Jojo, c’est avec plaisir que nous allons répondre à cette question, aucun souci. Cela peut nous permettre d’améliorer nos contenus 🙂
      Je vais essayer de mieux l’expliquer :
      – Oui epsilon est fixé au début et ne bouge pas
      – Oui la valeur absolue de la somme aussi
      – Le membre de gauche tend vers 0 si n tend vers l’infini
      – Par conséquent, si n est assez grand alors le membre de gauche deviendra plus petit que cet epsilon fixé à partir d’un certain rang.

      Est-ce que ma réponse t’aide ?

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