Voici l’énoncé d’un exercice sur le lemme de Césaro, un lemme bien connu sur les limites de suites. C’est un exercice associé au chapitre de suites, et plus précisément au chapitre des limites de suites. Cet exercice est classique et donc il est bien de la connaitre. En voici l’énoncé :

Lemme de Césaro

Cas 1 : l = 0

Supposons dans un premier temps que l = 0. Nous reviendrons au cas général dans un second temps.

\begin{array}{l}
\text{Soit } \varepsilon > 0\\
\exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |u_n| \leq \varepsilon \\
\end{array}

Maintenant, on va faire le découpage suivant :

\begin{array}{l}
v_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k =  \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+  \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k
\end{array}

Le terme

\displaystyle \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k

Ne dépend pas de n. Donc, pour un n1 assez grand, on a :

\exists n_1\in \mathbb{N}, \forall n \geq n_1,\dfrac{1}{n}\displaystyle\left| \sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|\leq \varepsilon 

De plus, par définition de n0 :

\begin{array}{l}
\left|\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right| \\
\leq \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n \left| u_k \right| \\
\displaystyle \leq \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n \varepsilon \\
\displaystyle \leq\dfrac{1}{n} (n-n_0) \varepsilon\\
\leq \varepsilon
\end{array}

Maintenant, rassemblons les deux morceaux :

\begin{array}{l}
|v_n| = \left| \dfrac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n u_k\right|\\
=\left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k+  \dfrac{1}{n} \sum_{k=n_0+1}^n u_k\right|\\
\leq \left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+  \left| \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n u_k \right|\\
\leq \left|  \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right|+   \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=n_0+1}^n\left| u_k \right|\\
 \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon 
\end{array}

Comme Ɛ a été choisi arbitrairement, on obtient bien le fait que :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = 0

Ce qui prouve bien le résultat voulu dans le cas où la limite vaut 0.

Cas 2 : l quelconque

Vous en avez marre des epsilons ? Rassurez-vous, il n’y en a pas besoin pour cette seconde partie. On va poser la suite w la suite définie définie par :

w_n = u_n -l 

Voici la limite de la suite w, le calcul est simple :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} w_n = l-l=0

On a donc, d’après le cas 1 qu’on a démontré juste avant :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

Or, si on simplifie cette somme, on obtient :

\begin{array}{l}
\displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n \\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n (u_n-l)\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n l\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- \displaystyle  \dfrac{1}{n} ln\\
= \displaystyle  \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n- l\\
=v_n - l
\end{array}

Ce qui nous donne donc le résultat suivant :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n w_n = 0

On peut donc conclure :

\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} v_n =\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_n= l

On a donc démontré le lemme de Césaro dans le cas général !

Deux généralisations

Première généralisation : La limite peut en fait être infinie !

Lemme de Césaro généralisation

Seconde généralisation : On peut faire le même genre de raisonnement mais avec une expression plus compliquée !

Variante de Césaro

Cet exercice vous a plu ?

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