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Inégalité
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Inégalité sur les réels (Oral Magistère Rennes)

Voici l’énoncé d’un exercice qui va démontrer une inégalité sur les nombres réels. On va donc mettre cet exercice dans le chapitre des réels. C’est un exercice faisable en première année dans le supérieur qui est tombé à l’oral du magistère Rennes.

Enoncé

Inégalité avec Cauchy-Schwarz

Corrigé

Démonstration élémentaire

Afin de bien comprendre ce qu’il se passe, nous allons regarder ce qu’il se passe pour des valeurs de n relativement faibles. Commençons par le cas n = 4 :

\begin{align*}
 \quad \sum_{i=1}^{4}\frac{x_i}{x_{5-i}}&=\frac{x_1}{x_4}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_4}{x_1}\\
& = \left(\frac{x_1}{x_4}+\frac{x_4}{x_1}\right) + \left(\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}\right) 
\end{align*}\\

C’est plutôt intéressant : une simple étude de fonction montre que :

\begin{align}
\underset{t\in\mathbb{R}^{*}_{+}}{\text{Min}}\left(t+\frac1t\right) = 2
\end{align}

Ce qui démontre déjà que le résultat est vrai pour n = 4. Dans le cas d’un nombre pair de termes, il semble possible de les regrouper efficacement.

Regardons maintenant un cas où n est impair. Par exemple, le cas n = 5.

\begin{align*}
 \quad \sum_{i=1}^{5}\frac{x_i}{x_{6-i}}&=\frac{x_1}{x_5}+\frac{x_2}{x_4}+\frac{x_3}{x_3}+\frac{x_4}{x_2}+\frac{x_5}{x_1} \\
&= 1+ \left(\frac{x_1}{x_5}+\frac{x_5}{x_1}\right) + \left(\frac{x_2}{x_4}+\frac{x_4}{x_2}\right) 
\end{align*}

Encore une fois, c’est génial : l’inégalité tient (par le même argument que précédemment).

Dans les cas impairs apparaît un terme constant égal à 1, c’est facile de s’en rendre compte dans le cas général : prenons n, entier strictement positif :

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} = \sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} + \sum_{i=n+1-\lfloor n/2 \rfloor}^{n}\frac{x_i}{x_{n+1-i}}  \quad + \textbf{1}_{n\equiv1[2]}\left(\frac{x_{\lfloor n/2 \rfloor+1}}{x_{n-\lfloor n/2\rfloor}}\right)
\end{align*}

En regroupe les ⌊n/2⌋ premiers termes et les ⌊n/2⌋ derniers termes séparément, et on ajoute éventuellement un terme (celui du milieu) lorsqu’on dispose d’un nombre impair de termes.

Comme n est impair,

\exists k\in\mathbb{N},\; n = 2k+1 \;\;\text{et} \;\; \lfloor n/2\rfloor = k

De ce fait,

\frac{x_{\lfloor n/2 \rfloor+1}}{x_{n-\lfloor n/2\rfloor}}=\frac{x_{k+1}}{x_{(2k+1)-k}}=1

C’est bien ce qu’on constatait dans le cas n = 5, le terme du milieu (pour n impair) est toujours égal à 1.

Réindexons maintenant la seconde somme avec :

j=n+1-i

On obtient,

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} &=
\sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} + \sum_{j=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\frac{x_{n+1-j}}{x_{j}} \quad + \mathbf{1}_{n\equiv 1[2]} \\
& = \mathbf{1}_{n\equiv 1[2]}+\sum_{i=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}\ \left( \frac{x_i}{x_{n+1-i}}+\frac{x_{n+1-i}}{x_i} \right) 
\end{align*}

Par la remarque (1) de tout à l’heure,

\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} \geq \mathbf{1}_{n\equiv 1[2]} \; +2\lfloor n/2\rfloor =n

Dans tous les cas, que n soit impair où pair, la quantité de droite vaut n, cela donne le résultat voulu !

Démonstration en une ligne avec l’inégalité arithmético-géométrique

Grâce à l’inégalité arithmético-géométrique, on obtient directement que :

\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{n+1-i}} \geq n \left(\prod_{i=1}^n \frac{x_i}{x_{n+1-i}}\right)^{\frac{1}{n}} = n

Cette démonstration permet en plus de démontrer une généralisation de cet exercice :

\forall \sigma \in S_n, \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{\sigma(i)}} \geq n 

Démonstration avec Cauchy-Schwarz

Voici une démonstration utilisant Cauchy-Schwarz, la démo est la suivante :

\begin{array}{ll}
n &= \displaystyle \sum_{i=1}^n 1\\
 &= \displaystyle \sum_{i=1}^n \sqrt{\dfrac{x_i}{x_{n+1-i}}} \sqrt{\dfrac{x_{n+1-i}}{x_{i}}}\\
 &\leq \displaystyle \left(\sum_{k=1}^n \dfrac{x_i}{x_{n+1-i}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_{n+1-i}}{x_{i}}\right)^{\frac{1}{2}}\\
 &\leq \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{x_{n+1-i}}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\sum_{i=1}^n\dfrac{x_{i}}{x_{n+1-i}}\right)^{\frac{1}{2}}\\
 &=\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{x_i}{x_{n+1-i}}\\
\end{array}

On a fait le changement d’indice k’ = n+1-k à l’avant-dernière ligne de calcul

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