Voici l’énoncé d’un exercice qui permet de faire la démonstration de la formule de Stirling. C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des intégrales et celui des suites, en passant par les séries. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. Il faut d’abord avoir fait l’exercice sur les intégrales de Wallis. En voici l’énoncé :

Formule de stirling

Voici la correction ! Tous les résultats démontrés durant l’exercice sur l’intégrale de Wallis seront utilisés, alors allez d’abord le lire !

Un lemme préliminaire

Tout d’abord, montrons le lemme suivant :

\exists L \in \mathbb{R}_+^*, \displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{n}}=L

Appelons (un) la suite définie par

u_n =  \dfrac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{n}}

Et (vn) la suite définie par

v_n = \ln\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)

On a :

\begin{array}{l}
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}\sqrt{n+1}}\dfrac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}\\
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{(n+1)^{n+1}\sqrt{n+1}}n^ne\sqrt{n}\\
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n^{n+\frac{1}{2}}e}{(n+1)^{n+\frac{1}{2}}}\\
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{(1+\frac{1}{n})^{n+\frac{1}{2}}}
\end{array}

On en déduit une expression de (vn)

v_n = 1 -(n+\dfrac{1}{2})\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)

Trouvons un équivalent de (vn) en faisant une développement limité à l’ordre 3 :

\begin{array}{l}
1 -(n+\dfrac{1}{2})\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \\
= 1 - (n+\dfrac{1}{2})\left[ \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n^2}+\dfrac{1}{3n^3}+o(\dfrac{1}{n^3})\right]\\
=1 - 1 -\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{4n^2}-\dfrac{1}{3n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})\\
= -\dfrac{1}{12n^2}+o(\dfrac{1}{n^2})
\end{array}

Qui est le terme général d’une série convergente vers une limite l. On en déduit alors que :

\displaystyle \sum_{k=1}^n v_k =  \sum_{k=1}^n \ln( u_{k+1})-\ln( u_{k})=\ln(u_{n+1})- \ln(u_1)

On en déduit alors que

\displaystyle \lim_{n\rightarrow + \infty}\ln(u_n)= l+ \ln(u_1)

Et en prenant l’exponentielle on en déduit que la suite (un) converge. On appelle L sa limite.

Utilisons les résultats de l’intégrale de Wallis

Pour rappel, tout est ici. On sait que

W_{2n}= \dfrac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\dfrac{\pi}{2}

Et aussi que

W_{2n+1}= \dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n+1)!}

On avait aussi obtenu le résultat suivant

W_{2n}\sim W_{2n+1}

Calcul final

Calculons le rapport suivant entre W2n+1 et W2n

\begin{array}{l}
\dfrac{W_{2n+1}}{W_{2n}}\\
= \dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n+1)!}\dfrac{2^{2n}n!^2}{(2n)!}\dfrac{2}{\pi}\\
= \dfrac{2^{4n}n!^4}{(2n+1)!(2n)!}\dfrac{2}{\pi}\\
=\dfrac{2^{4n}n!^4}{(2n+1)(2n)!^2}\dfrac{2}{\pi}
\end{array}

Or, d’après le lemme, on a montré que

n! \sim Ln^n e^{-n}\sqrt{n}

En reprenant ce résultat dans le rapport d’au-dessus, on obtient :

\begin{array}{l}
1 
\sim \dfrac{W_{2n+1}}{W_{2n}}\\
\sim\dfrac{2^{4n}L^4n^{4n}e^{-4n}\sqrt{n}^4} {(2n+1)L^{2}((2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{2n})^2}\dfrac{2}{\pi}\\
=\dfrac{2^{4n}L^2n^{4n}e^{-4n}\sqrt{n}^4} {(2n+1)2^{4n}n^{4n}e^{-4n}2n}\dfrac{2}{\pi}\\
=\dfrac{L^2\sqrt{n}^4} {(2n+1)2n}\dfrac{2}{\pi}\\
\sim \dfrac{L^2}{2\pi}
\end{array}

On en déduit, via l’équivalent, la valeur de L.

\begin{array}{l}
1 \sim \dfrac{L^2}{2\pi}\\\\
\Leftrightarrow L^2 \sim 2\pi\\\\
\Leftrightarrow L \sim \sqrt{2\pi}
\end{array}

Ce qui nous donne la valeur de L. On peut donc en déduire la fameuse formule de Stirling :

n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}

C’est une formule qui n’est pas officiellement au programme de prépa mais qu’il est important de bien connaitre. On appelait cela le « programme officieux ». Les techniques pour la redémontrer sont elles tout à fait classiques et il est nécessaire de savoir les utiliser.

Et voilà pour cet exercice sur la formule de Stirling ! Cet exercice vous a plu ?

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