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Dérivation
Exercices corrigés

Exercice corrigé : Formule de Leibniz

Nous allons corriger à la suite 3 exercices de formule de Leibniz. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours de dérivation

Exercice 1

Théorème de Leibniz application

Appliquons la formule de Leibniz à

u(x) = e^{x\sqrt{3} } \text{ et } v(x) = \sin(x) 

Pour rappel, l’énoncé de la formule de Leibniz est le suivant : Si f et g sont de classe Cn alors le produit fg est aussi de classe Cn et

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}

Nous avons utilisé la convention u(0) = u
Calculons maintenant la dérivée k-ième de u

\begin{array}{l}
u'(x) = \sqrt{3} e^{x\sqrt{3}}\\
u''(x) = \sqrt{3}^2 e^{x\sqrt{3}} \\
\vdots\\
u^{(k)}(x) = \sqrt{3}^k e^{x\sqrt{3}} 
\end{array}

Faisons de même pour v, calculons sa dérivée k-ième. Pour cela, écrivons v sous la forme de l’imaginaire d’une exponentielle :

v(x) =\sin(x) =\Im (e^{ix})

De là, on peut écrire v(k) sous la forme

v^{(k)}(x) = \Im(i^k e^{ix})

Gardons cette forme, plus pratique pour les calculs et appliquons notre formule :

\begin{array}{l}
\displaystyle (e^{x \sqrt{3}}\sin(x) )^{(n)} \\
=\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sqrt{3}^k e^{x\sqrt{3}} \Im(i^{n-k} e^{ix})\\
=\displaystyle e^{\sqrt{3}x} \Im\left(e^{ix} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sqrt{3}^k i^k\right)\\
=\displaystyle e^{\sqrt{3}x} \Im\left(e^{ix}(\sqrt{3}+i)^n\right)
\end{array}

Or,

\begin{array}{l}
\sqrt{3}+i \\
=2\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\\
=2( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)) \\
=2(e^{i \frac{\pi}{6}}) \\
\end{array}

Donc, si on reprend notre calcul :

\begin{array}{l}
\displaystyle (e^{x \sqrt{3}}\sin(x) )^{(n)} \\
=\displaystyle e^{\sqrt{3}x} \Im\left(e^{ix}2^ne^{in\frac{\pi}{6}}\right)\\
=\displaystyle 2^ne^{\sqrt{3}x} \Im\left(e^{i(x+n\frac{\pi}{6})}\right)\\
=\displaystyle 2^ne^{\sqrt{3}x} \sin\left(x+n\frac{\pi}{6}\right)
\end{array}

Ce qui permet de conclure ce premier exercice par un joli résultat !

Exercice 2

Formule de Leibniz, calculs

Question 1

Essayons de deviner le résultat. Soit f définie par f(x) = xn. On a :

\begin{array}{l}
f'(x) = nx^{n-1}\\
f''(x) = n(n-1) x^{n-1}\\
\vdots\\
f^{(k)} (x) = n(n-1)\ldots(n-k-1) x^{n-k} = \dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}
\end{array}

Si on veut détailler plus cette démonstration, il suffit de démontrer le résultat par récurrence :

\begin{array}{l}
\text{Si } 0\leq k \leq n, f^{(k)} (x)= \dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}\\
\text{Si } k >n, f^{(k)} (x) =0
\end{array}

Question 2

Appliquons la formule de Leibniz pour et dérivons n fois à la fonction g définie par g(x) = x2n :

\begin{array}{l}
g^{(n)}(x) \\
= \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(x) f^{(n-k)}(x)\\
= \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} \dfrac{n!}{(n-(n-k))!}x^{n-(n-k)}\\
=n! x^n \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \dfrac{n!}{(n-k)!k!} \\
=n! x^n \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \\
\end{array}

D’autre part, d’après la question 1 :

g^{(n)}(x) = \dfrac{(2n)!}{(2n-n)!}x^n=\dfrac{(2n)!}{n!}x^n

En identifiant les 2 égalités obtenues, on obtient :

\begin{array}{l}
n!  \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 =\dfrac{(2n)!}{n!}\\
\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 =\dfrac{(2n)!}{n!n!}\\
\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}
\end{array}

Ce qui conclut ce second exercice sur notre formule de Leibniz. Ce résultat est un cas particulier de la formule de Vandermonde.

Exercice 3

Dérivée énième à calculer

Ici, nous n’avons en fait pas besoin de la formule de Leibniz, écrivons plutôt

f(x) = \dfrac{x^2 -1 }{x-1}+\dfrac{1}{x-1}  = x+1 + \dfrac{1}{x-1}

On a alors :

f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2}

Puis en dérivant une seconde fois :

f''(x) =\dfrac{2}{(x-1)^3}

Dérivons une troisième puis une quatrième fois pour bien comprendre :

\begin{array}{l}
f^{(3)}(x) =-\dfrac{6}{(x-1)^4}\\
f^{(4)}(x) = \dfrac{24}{(x-1)^5}
\end{array}

Voici alors le résultat qui se démontre par récurrence (laissée au lecteur) :

\begin{array}{l}
f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x-1)^2}\\
\forall k \geq 2, f^{(k)}(x) = (-1)^k \dfrac{k!}{(x-1)^{k+1}}
\end{array}

Ce qui nous permet de terminer ce troisième et dernier exercice sur ce thème.

Ces exercices vous ont plu ?

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