Exercice corrigé : Familles libres dans un espace vectoriel

Nous allons corriger à la suite plusieurs exercices classiques de familles libres dans les espaces vectoriels. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours de dérivation

Exercice 1 : Une famille de valeurs absolues

Commençons par ce premier exercice

Nous n’allons pas faire de récurrence, mais montrer directement le résultat. Il faut donc montrer que pour tout sous ensemble fini (a₁,…, a_n), la famille des |x – a_i| est libre. On va donc supposer qu’il existe des scalaires

\lambda_1, \ldots,\lambda_n

tels que :

\forall x \in \mathbb{R}, \sum_{i=1}^n \lambda_i |x-a_i|

On va ensuite montrer que pour un k arbitraire, λ_k est nul. Pour cela, on va l’isoler et supposer qu’il est non nul :

 \lambda_k |x-a_k|=-\sum_{i=1, i\neq k}^n \lambda_i |x-a_i|

Intéressons nous maintenant au point x = a_k :

• Le terme de gauche n’est pas dérivable en ce point
• Le terme de droite est dérivable en ce point

Ce qui aboutit à une contradiction. On obtient donc que λ_k = 0. Comme λ_k a été choisi arbitrairement, tous les λ_i sont nuls. La famille est donc libre.

Ce qui conclut notre premier exercice

Exercice 2 : Liberté de la famille du logarithme des nombres premiers

Nous pouvons faire là aussi une preuve directe. Prenons une sous-famille finie (p₁, …, p_n) de nombres premiers et montrons qu’elle est libre.

\exists \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb{Q}, \sum_{i=1}^n \lambda_i\ln(p_i) = 0

Chaque λ_i peut s’écrire :

\exists q_i \in \mathbb{Z}, r_i \in \mathbb{N}^*, \text{pgcd}(q_i,r_i)=1, \lambda_i =\dfrac{q_i}{r_i}

On pose ensuite

C = \text{ppcm} (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

On multiplie tout par C et on pose :

\mu_i = C \lambda_i \in \mathbb{Z}

Ce qui fait qu’on a maintenant l’égalité suivante :

 \sum_{i=1}^n \mu_i\ln(p_i) = 0

On peut transformer cette égalité en :

\ln\left( \prod_{i=1}^n p_i^{\mu_i}\right) = 0

Puis on prend l’exponentielle :

 \prod_{i=1}^n p_i^{\mu_i} = 1

Maintenant, on sépare les puissances négatives à droite :

 \prod_{i=1, \mu_i \geq 0}^n p_i^{\mu_i} =  \prod_{i=1, \mu_i <0}^n p_i^{-\mu_i }

Et on va conclure grâce au théorème des nombres premiers. En effet, le nombre

 A=\prod_{i=1, \mu_i \geq 0}^n p_i^{\mu_i} =  \prod_{i=1, \mu_i <0}^n p_i^{-\mu_i }

a une écriture unique et comme les nombres premiers de gauche et de droite sont tous distincts 2 à 2, on en déduit que chaque puissance est nulle. Donc,

\mu_1=\ldots=\mu_n =0

D’où on tire

\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0

Ce qui conclut notre démonstration

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