Nous allons corriger à la suite plusieurs exercices classiques d’espérance. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours de dérivation

Exercice 1

Commençons par ce premier exercice

Pour cela, nous allons faire quelques calculs :

\begin{array}{ll}
1 & =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k) \\
&= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \sqrt{k\mathbb{P}(X=k) } \sqrt{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}}
\end{array}

On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

\begin{array}{rll}
1 & \leq &\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (\sqrt{k\mathbb{P}(X=k) }  )^2\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sqrt{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}}\right)^2\\
\Leftrightarrow 1& \leq& \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {k\mathbb{P}(X=k) } \sum_{n=0}^{+\infty}{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}}\\
\Leftrightarrow 1& \leq &\mathbb{E}\left(X\right)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)
\end{array}

Ce qui conclut notre premier exercice

Exercice 2

Inégalité max espérance

On va utiliser cette transformation classique qui permet d’écire le max :

\max(X,Y) = \dfrac{X+Y+|X-Y|}{2}

Si on passe ce résultat dans l’espérance, on a :

\begin{array}{ll}
\mathbb{E}(\max(X,Y))&=\mathbb{E}\left( \dfrac{X+Y+|X-Y|}{2}\right)\\
&=\dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|)
\end{array}

On a utilisé la linéarité de l’espérance et le fait que E(X) = E(Y) = 0. Maintenant, utilisons l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|)&=\dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|\times 1)\\ \\
&\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(|X-Y|^2)}\sqrt{\mathbb{E}(1)}\\ \\
&\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2+Y^2-2XY)}\\ \\
&\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2)+\mathbb{E}(Y^2)-2\mathbb{E}(XY)}\\ \\
&\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2)+\mathbb{E}(Y^2)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)}\\ \\
&\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{1+1-0}\\
\end{array}

Ce qui nous permet de conclure cet exercice avec :

\mathbb{E}(\max(X,Y)) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}

Exercice 3 : Une autre formule de l’espérance

Réécriture de l'espérance d'une variable aléatoire

Question 1

Cette question est purement calculatoire :

\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)\\
 = \displaystyle\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^{k-1}\mathbb{P}(X=k)
\end{array}

On inverse les deux signes somme :

\begin{array}{l}
 = \displaystyle\sum_{i=0}^n\sum_{k=i+1}^n\mathbb{P}(X=k)\\
 = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(n\geq X>i)\\
 = \displaystyle\sum_{i=0}^n(\mathbb{P}(X>i)-\mathbb{P}(X>n))\\
 = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i)-\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>n)\\
 = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i)-n\mathbb{P}(X>n)\\
\end{array}

Ce qui répond bien à cette première question !

Question 2

On a :

n \mathbb{P}(X>n) = n \sum_{k=n+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k)=  \sum_{k=n+1}^{+\infty}n \mathbb{P}(X=k)

On peut majorer cette somme par

 \sum_{k=n+1}^{+\infty}n \mathbb{P}(X=k) \leq  \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)

On a donc l’encadrement suivant :

0 \leq n \mathbb{P}(X>n)  \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)

Or,

\sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)

Est le reste d’une série convergence (celle qui définit l’espérance). Donc, par encadrement :

 \lim_{n \rightarrow + \infty} n \mathbb{P}(X>n)=0

On en déduit ensuite :

\begin{array}{ll}
&\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k) =\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k)-n\mathbb{P}(X>n)\\
\Leftrightarrow &\displaystyle \mathbb{E}(X) =\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k)
\end{array}

Ce qui conclut la seconde partie de cette question 2 !

Question 3

On sait que :

 \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)= \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) -n\mathbb{P}(X>n)\\

On déduit alors de ce résultat que :

\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)\leq \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) \\

Le terme de droite est la somme partielle d’une série à termes positifs convergente. On en déduit donc que la série correspondante au terme de gauche est elle aussi convergente.

Donc

\mathbb{E}(X) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k) 

existe

Question 4

On a démontré le résultat suivant :

X admet une espérance si et seulement si

\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(X>n)

Et dans ce cas,

\mathbb{E}(X) = \sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(X>n)

Ces exercices vous ont plu ?

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