Nous allons corriger à la suite plusieurs exercices classiques d’espérance. Si vous souhaitez juste des énoncés, allez plutôt ici. Connaitre ces exercices aide à bien comprendre cette partie du cours de dérivation
Exercice 1
Commençons par ce premier exercice

Pour cela, nous allons faire quelques calculs :
\begin{array}{ll} 1 & =\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k) \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \sqrt{k\mathbb{P}(X=k) } \sqrt{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}} \end{array}
On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\begin{array}{rll} 1 & \leq &\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (\sqrt{k\mathbb{P}(X=k) } )^2\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\sqrt{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}}\right)^2\\ \Leftrightarrow 1& \leq& \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} {k\mathbb{P}(X=k) } \sum_{n=0}^{+\infty}{\dfrac{\mathbb{P}(X=k)}{k}}\\ \Leftrightarrow 1& \leq &\mathbb{E}\left(X\right)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right) \end{array}
Ce qui conclut notre premier exercice
Exercice 2

On va utiliser cette transformation classique qui permet d’écire le max :
\max(X,Y) = \dfrac{X+Y+|X-Y|}{2}
Si on passe ce résultat dans l’espérance, on a :
\begin{array}{ll} \mathbb{E}(\max(X,Y))&=\mathbb{E}\left( \dfrac{X+Y+|X-Y|}{2}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|) \end{array}
On a utilisé la linéarité de l’espérance et le fait que E(X) = E(Y) = 0. Maintenant, utilisons l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\begin{array}{ll} \dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|)&=\dfrac{1}{2}\mathbb{E}(|X-Y|\times 1)\\ \\ &\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(|X-Y|^2)}\sqrt{\mathbb{E}(1)}\\ \\ &\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2+Y^2-2XY)}\\ \\ &\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2)+\mathbb{E}(Y^2)-2\mathbb{E}(XY)}\\ \\ &\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{\mathbb{E}(X^2)+\mathbb{E}(Y^2)-2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)}\\ \\ &\leq\dfrac{1}{2}\sqrt{1+1-0}\\ \end{array}
Ce qui nous permet de conclure cet exercice avec :
\mathbb{E}(\max(X,Y)) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}
Exercice 3 : Une autre formule de l’espérance

Question 1
Cette question est purement calculatoire :
\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)\\ = \displaystyle\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^{k-1}\mathbb{P}(X=k) \end{array}
On inverse les deux signes somme :
\begin{array}{l} = \displaystyle\sum_{i=0}^n\sum_{k=i+1}^n\mathbb{P}(X=k)\\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(n\geq X>i)\\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n(\mathbb{P}(X>i)-\mathbb{P}(X>n))\\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i)-\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>n)\\ = \displaystyle\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i)-n\mathbb{P}(X>n)\\ \end{array}
Ce qui répond bien à cette première question !
Question 2
On a :
n \mathbb{P}(X>n) = n \sum_{k=n+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k)= \sum_{k=n+1}^{+\infty}n \mathbb{P}(X=k)
On peut majorer cette somme par
\sum_{k=n+1}^{+\infty}n \mathbb{P}(X=k) \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)
On a donc l’encadrement suivant :
0 \leq n \mathbb{P}(X>n) \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)
Or,
\sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k)
Est le reste d’une série convergence (celle qui définit l’espérance). Donc, par encadrement :
\lim_{n \rightarrow + \infty} n \mathbb{P}(X>n)=0
On en déduit ensuite :
\begin{array}{ll} &\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k) =\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k)-n\mathbb{P}(X>n)\\ \Leftrightarrow &\displaystyle \mathbb{E}(X) =\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k) \end{array}
Ce qui conclut la seconde partie de cette question 2 !
Question 3
On sait que :
\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)= \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) -n\mathbb{P}(X>n)\\
On déduit alors de ce résultat que :
\sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)\leq \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) \\
Le terme de droite est la somme partielle d’une série à termes positifs convergente. On en déduit donc que la série correspondante au terme de gauche est elle aussi convergente.
Donc
\mathbb{E}(X) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n k\mathbb{P}(X=k)
existe
Question 4
On a démontré le résultat suivant :
X admet une espérance si et seulement si
\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(X>n)
Et dans ce cas,
\mathbb{E}(X) = \sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(X>n)
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