Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger sur un exercice de connexité par arcs. Il a pour but de calculer la constante de l’intégrale de la densité gaussienne. C’est un exercice associé au chapitre de la topologie. C’est donc plutôt un exercice de deuxième année dans le supérieur. En voici l’énoncé :

Question 1

Montrons que l’ensemble

Gl_n(\mathbb{R})

n’est pas connexe par arcs. Pour cela, on trouve une matrice à déterminant positif A et une matrice à déterminant négatif B. Je pense que je n’ai pas besoin de trouver d’exemple là-dessus.

Si notre ensemble était connexe par arcs, on pourrait trouver un fonction f continue telle que :

\begin{array}{l}
f(0) = A \\
f(1) = B 
\end{array}

Or, considérons la fonction composée suivante :

g = \det \circ f

g est continue en tant que composée de fonctions continues. De plus, on a :

\begin{array}{l}
g(0) = \det(f(0))=\det(A) > 0 \\
g(1) = \det(f(1))=\det(B) < 0 \\
\end{array}

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires :

\exists \alpha \in ]0,1[, g(\alpha) = 0

On en déduit que

f(\alpha) \notin Gl_n(\mathbb{R})

Donc on ne peut pas trouver de fonction continue reliant A à B. L’ensemble

Gl_n(\mathbb{R})

n’est donc pas connexe par arcs.

Question 2

Cette fois on va montrer que l’ensemble

Gl_n(\mathbb{C})

est connexe par arcs. Pour cela, on prend A et B dans cet ensemble. On va essayer de les relier par une fonction continue. On va donc poser :

P(z) = \det(zA + (1-z)B)

P est un polynôme de degré n. Il a donc au plus n racines distinctes. On en déduit que l’ensemble

V = \{ z \in \mathbb{C}, P(z) \neq 0\}

est connexe par arcs. De plus,

\begin{array}{l}
0 \in V\\
1 \in V
\end{array}

Il existe donc un chemin f de V tel que

\begin{array}{l}
f :[0,1] \mapsto V\\
f(0)= 0\\
f(1) =0\\
\text{f continue}
\end{array}

f existe bien par connexité de V. Considérons alors g définie sur [0,1] par :

g(t) = f(t) B+ (1-f(t)) A 

On a les caractéristiques suivantes :

\begin{array}{l}
g(0) = f(0) B + (1-f(0))A = A \\
g(1) = f(1) B + (1-f(1))A = B \\
\text{g continue}\\
 P(g(t)) \neq 0  \in V \Rightarrow g(t) \in Gl_n(\mathbb{C})
\end{array}

On a donc trouvé une fonction qui montre la connexité par arcs de notre ensemble.

Ce qui permet de conclure la question et l’exercice ! On a donc montré la connexité par arcs des matrices inversibles complexes et la non connexité par arcs des matrices inversibles réelles.

Cet exercice vous a plu ?

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