Exercice corrigé : Comparaison de séries

Voici l’énoncé d’un exercice que nous allons corriger qui étudie la convergence d’une série en la comparant à une autre. C’est un exercice qu’on va mettre dans le chapitre des séries et plus précisément, on va comparer des séries. C’est un exercice plutôt de deuxième année. En voici l’énoncé :

Nous allons faire 2 cas, le premier, plus simple, quand la série des u_n converge. Puis, nous ferons le cas où la série des u_n diverge

Cas 1 : La série des u_n converge

Ici, la solution est assez simple :

v_n = \dfrac{u_n}{\prod_{k=0}^n(1+u_k)} \leq u_n

Par comparaison de séries à termes positifs, comme la série des v_n converge.
Voilà, c’était le cas simple. Passons au cas un peu plus compliqué.

Cas 2 : La série des u_n diverge

Montrons, par récurrence, le résultat suivant :

\sum_{k=0}^n v_k = 1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^n (1+u_k)}

Initialisation
Pour n = 0, c’est facile :

\sum_{k=0}^0 v_k =\dfrac{u_0}{1+u_0}= 1- \dfrac{1}{1+u_0}= 1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^0 (1+u_k)}

Qui est bien le résultat voulu. Passons maintenant à l’hérédité.
Hérédité

Soit n fixé. On suppose que

\sum_{k=0}^n v_k = 1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^n (1+u_k)}

Considérons

\sum_{k=0}^{n+1} v_k 

On a :

\sum_{k=0}^{n+1} v_k  = \sum_{k=0}^{n} v_k +v_{n+1}

Par hypothèse de récurrence :

 \begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k +v_{n+1}\\ \\
=1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^n (1+u_k)}+\dfrac{u_{n+1}}{\prod_{k=0}^{n+1} (1+u_k)}\\ \\
=1- \dfrac{1+u_{n+1}}{\prod_{k=0}^{n+1} (1+u_k)}+\dfrac{u_{n+1}}{\prod_{k=0}^{n+1} (1+u_k)}\\ \\
=1- \dfrac{1+u_{n+1}-u_{n+1}}{\prod_{k=0}^{n+1} (1+u_k)}\\ \\
=1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^{n+1} (1+u_k)}
\end{array}

Ce qui est bien le résultat voulu. On a donc démontré le résultat par récurrence.

Maintenant, on a :

S_n = \sum_{k=0}^n v_k = 1- \dfrac{1}{\prod_{k=0}^n (1+u_k)} \leq 1

(S_n) est donc une suite croissante (car constituée de termes positifs), majorée par 1. Donc la suite (S_n) converge. Or,

S_n = \sum_{k=0}^n v_k

On peut donc en déduire que la série des v_n converge.
Ce qui termine cet exercice de comparaison de séries.

N.B : Le raisonnement fait dans le cas 2 est en fait aussi valable dans le cas 1.

Cet exercice vous a plu ?