Exercice corrigé : Calcul d’une série

Voici la correction d’un exercice calculant la somme d’une série.
Somme série

Voici la correction détaillée d’un exercice dont la somme est calculable. Cet exercice fait appel à la série géométrique et à des notions de séries entières (pour aller plus vite dans les calculs)

En voici l’énoncé :

Enoncé

Somme à déterminer

Cette somme a été proposée par Cliff Pickover :

Corrigé

Convergence

Cette série est bien convergente car \displaystyle\lim_{n \to + \infty} n^{2} \dfrac{n^3}{2^n} = 0
D’où \dfrac{n^3}{2^n} = o \left ( \dfrac{1}{n^2} \right)
Ce qui implique sa convergence par comparaison de séries à termes positifs.

Calcul préliminaire

Posons f définie par f(x) = \dfrac{1}{1-x}
Avec la théorie des séries entières, on sait que f(x) =\displaystyle\sum_{n \geq 0 } x^n
En dérivant successivement f 3 fois, on obtient :

\begin{array}{l}
f'(x) =\dfrac{1}{(1-x)^2}\\
f''(x) =\dfrac{2}{(1-x)^3}\\
f^{(3)}(x) =\dfrac{6}{(1-x)^4}\\
\end{array}

De l’autre côté, on obtient f'(x) =\displaystyle \sum_{n \geq 0 } nx^{n-1}
Pour avoir une puissance n, on va multiplier par x xf'(x) = \displaystyle\sum_{n \geq 0 } nx^{n}
On dérive ensuite cette égalité pour obtenir f'(x)+x f''(x) = \displaystyle\sum_{n \geq 0 } n^2x^{n-1}
On multiplie à nouveau par x

xf'(x)+x^2 f''(x) =  \sum_{n \geq 0 } n^2x^{n}

Puis on dérive une dernière fois :

f'(x)+3xf''(x)+x^2 f^{(3)}(x) =  \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n-1}

Et on multiplie une dernière fois par x :

xf'(x)+3x^2f''(x)+x^3 f^{(3)}(x) =  \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n}

On remplace les dérivées successives de f par leur expression :

\dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{6x^2}{(1-x)^3}+\dfrac{6x^3}{(1-x)^4}=  \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n}

Calcul final

Pour conclure, il suffit de prendre x= \dfrac{1}{2} . On trouve alors

\begin{array}{ll}
&\dfrac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} + \dfrac{6\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{2})^3}+\dfrac{6\frac{1}{8}}{(1-\frac{1}{2})^4}=\displaystyle  \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}\\
\iff &\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} + \dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{8}}+\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{16}}=\displaystyle  \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}\\
\iff &\displaystyle  \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}= 2 +12+12\\
\iff &\displaystyle  \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}=26

\end{array}

Ce qui est bien le résultat qu’on cherchait pour le calcul de cette série !

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