Voici la correction détaillée d’un exercice dont la somme est calculable. Cet exercice fait appel à la série géométrique et à des notions de séries entières (pour aller plus vite dans les calculs)
En voici l’énoncé :
Enoncé
Cette somme a été proposée par Cliff Pickover :
Corrigé
Convergence
Cette série est bien convergente car \displaystyle\lim_{n \to + \infty} n^{2} \dfrac{n^3}{2^n} = 0
D’où \dfrac{n^3}{2^n} = o \left ( \dfrac{1}{n^2} \right)
Ce qui implique sa convergence par comparaison de séries à termes positifs.
Calcul préliminaire
Posons f définie par f(x) = \dfrac{1}{1-x}
Avec la théorie des séries entières, on sait que f(x) =\displaystyle\sum_{n \geq 0 } x^n
En dérivant successivement f 3 fois, on obtient :
\begin{array}{l}
f'(x) =\dfrac{1}{(1-x)^2}\\
f''(x) =\dfrac{2}{(1-x)^3}\\
f^{(3)}(x) =\dfrac{6}{(1-x)^4}\\
\end{array}De l’autre côté, on obtient f'(x) =\displaystyle \sum_{n \geq 0 } nx^{n-1}
Pour avoir une puissance n, on va multiplier par x xf'(x) = \displaystyle\sum_{n \geq 0 } nx^{n}
On dérive ensuite cette égalité pour obtenir f'(x)+x f''(x) = \displaystyle\sum_{n \geq 0 } n^2x^{n-1}
On multiplie à nouveau par x
xf'(x)+x^2 f''(x) = \sum_{n \geq 0 } n^2x^{n}Puis on dérive une dernière fois :
f'(x)+3xf''(x)+x^2 f^{(3)}(x) = \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n-1}Et on multiplie une dernière fois par x :
xf'(x)+3x^2f''(x)+x^3 f^{(3)}(x) = \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n}On remplace les dérivées successives de f par leur expression :
\dfrac{x}{(1-x)^2} + \dfrac{6x^2}{(1-x)^3}+\dfrac{6x^3}{(1-x)^4}= \sum_{n \geq 0 } n^3x^{n}Calcul final
Pour conclure, il suffit de prendre x= \dfrac{1}{2} . On trouve alors
\begin{array}{ll}
&\dfrac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} + \dfrac{6\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{2})^3}+\dfrac{6\frac{1}{8}}{(1-\frac{1}{2})^4}=\displaystyle \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}\\
\iff &\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} + \dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{8}}+\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{16}}=\displaystyle \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}\\
\iff &\displaystyle \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}= 2 +12+12\\
\iff &\displaystyle \sum_{n \geq 0 } \dfrac{n^3}{2^n}=26
\end{array}Ce qui est bien le résultat qu’on cherchait pour le calcul de cette série !
