Evolutions de population : Le modèle proie-prédateur

Qu’est-ce que le modèle proie-prédateur ? Découvrez cette modélisation mathématique dans cet article !
Modèle proie-prédateur

Qu’est-ce que le modèle proie-prédateur ? Dans cet article, nous allons discuter de ce modèle de population, très utilisé académiquement. Cet article peut être une idée de sujet de grand oral !

Constat de départ

En regardant pendant 90 ans les peaux de lynx et de lièvres issues de la chasse des trappeurs par la société de Hudson’s Bay (qui collecte donc des fourrures), on remarque que le nombre de peaux lièvres et de lynx est corrélé. Si on suppose que le nombre de peaux collectées est proportionnelle à l’effectif totale de la population, alors on arrive à la conclusion que la population de lièvres et de lynx est corrélée avec un déphase de quelques années pour le Lynx

Evolution des nombres de peaux de lièvres et de lynx au Canada selon les statistiques de l'Hudson's Bay Company
Evolution des nombres de peaux de lièvres et de lynx au Canada selon les statistiques de l’Hudson’s Bay Company (Source)

L’intuition derrière cela ? Les lynx ont besoin des lièvres pour vivre et donc la population de lynx ne peut croitre que si celle des lièvres croit. Il y a alors un décalage : quand la population des lynx est faible, alors celle des lièvres commencent à croitre. Les lynx commencent alors à avoir à nouveau à manger et vont donc ensuite à nouveau croitre et se mettre à massacrer une grosse partie de la population des lièvres pour ensuite manquer de nourriture. Puis le cycle recommence.

Le modèle proie-prédateur

Modèle de base

Nous allons définir deux suites (x_n) et (y_n) avec :

  • (x_n) le nombre de lièvres de l’année n
  • (y_n) le nombre de lynx de l’année n

On fait ensuite les hypothèses suivantes :

  • Le taux d’accroissement des lièvres dépend d’un taux de natalité a : chaque année a % de nouvelles unités en plus. Elle est aussi proportionnelle à un taux de mortalité by_n : plus il y a de lynx, plus la population diminue
  • Le taux d’accroissement des lynx dépend d’un taux de natalité c x_n : plus il y a de lièvres, plus les lynx vont pouvoir croitre et s’alimenter correctement et une proportion d meurt chaque année.

On obtient donc le système suivant :

\left\{
\begin{array}{lll}
x_{n+1}-x_n &=& (a- b y_n)x_n\\
y_{n+1} -y_n&=& (cx_n-d)y_n
\end{array}
\right. \iff \left\{
\begin{array}{lll}
x_{n+1}& =& (1+a) x_n -b x_ny_n\\
y_{n+1}& =& (1-d)y_n+cx_ny_n
\end{array}
\right.

Les valeurs du terrain, c’est à dire que dans le cas d’Hudson Bay, et pour cette modélisation, donnent :

  • a = 0,001
  • b = 0,05
  • c = 0,03
  • d = 0,0002

Linéarisation du modèle

Pour que les deux populations restent constantes, il faut que x_{n+1}=x_n et y_{n+1}=y_n. En reprenant alors la première relation définie plus haut, on a :

\left\{
\begin{array}{lll}
0 &=& (a- b y_e)x_e\\
0&=& (cx_e-d)y_e
\end{array}
\right. \iff \left\{
\begin{array}{lll}
y_e &=& \frac{a}{b}\\
x_e&=& \frac{d}{c}
\end{array}
\right. 

Dans ce cas, en posant u_n=x_n-x_e et v_n=y_n-y_e, on obtient alors :

\left\{
\begin{array}{lll}
u_{n+1}& =&  u_n -\dfrac{bd}{c} v_n-bu_nv_n\\
u_{n+1}& =& \dfrac{ac}{b}u_n + v_n +cu_nv_n
\end{array}
\right.

Si on suppose qu’on reste proche de l’équilibre, alors on peut négliger le terme u_nv_n et on a donc le système d’équation qu’on représente matriciellement :

\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}   1 & -\dfrac{bd}{c}
\\\dfrac{ac}{b}& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{n}\\v_{n} \end{pmatrix} 

On va alors poser

A =  \begin{pmatrix}   1 & -\dfrac{bd}{c}
\\\dfrac{ac}{b}& 1\end{pmatrix} 

On peut alors montrer (par récurrence par exemple) que

\begin{pmatrix} u_{n}\\v_{n} \end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix} u_{0}\\v_{0} \end{pmatrix} 

Et on peut aussi montrer (là aussi par récurrence par exemple mais ce n’est pas simple), que

A^n = r^n\left( \dfrac{\sin(n\alpha)}{\sqrt{ad}}(A-I_2) +\cos(n\alpha)I_2 \right)

r et \alpha sont le module et l’argument de 1+i \sqrt{ad}

En calculant encore un peu, on obtient donc u_n et v_n puis x_n et y_n :

\left\{
\begin{array}{lll}
x_n& =&  \dfrac{d}{c}+ r^n \left( -\dfrac{b}{c}\sqrt{\dfrac{d}{a}}v_0 \sin(n\alpha)+u_0 \cos(n\alpha)\right)\\
y_n& =&  \dfrac{d}{c}+ r^n \left( -\dfrac{c}{d}\sqrt{\dfrac{a}{d}}u_0 \sin(n\alpha)+v_0 \cos(n\alpha)\right)\\
\end{array}
\right.

ce qui donne un modèle oscillatoire de période \dfrac{2\pi}{\alpha} et dont l’amplitude croit avec r^n . Pour que le modèle reste proche de la réalité, il ne faut pas que n soit trop grand.

Le modèle de Lotka-Volterra : en milieu limité

On peut en plus supposer que les proies, donc les lièvres vivent dans un milieu limité : plus ils sont nombreux, moins ils pourront croitre car ils ne disposeront pas d’assez de ressources. On va alors ajouter un facteur de mortalité k x_n. Dans ce cas, les équations deviennent :

\left\{
\begin{array}{lll}
x_{n+1}& =& (1+a) x_n -b x_ny_n-kx_n^2\\
y_{n+1}& =& (1-d)y_n+cx_ny_n
\end{array}
\right.

Pour aller plus loin : Avec des équations différentielles

Une modélisation précise est de considérer le temps continu plutôt que les années. On va alors représenter les populations par des fonctions x et y représentant respectivement proies et prédateurs. Dans ce cas, on a le système différentiel suivant :

\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{dx(t)}{dt} &=& (\alpha -\beta y(t))x(t)\\
\dfrac{dy(t)}{dt}&=& (\delta x(t)-\gamma)y(t)
\end{array}
\right. 
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