Qu’on la pose sous la forme y = ax +b ou ac+by+c=0 ou encore sous la forme y = mx+p, l’équation de droite est un incontournable à connaitre.
Le début du cours sur la fonction affine peut être utile
Définition de l’équation de droite
L’ensemble des points formant une droite dans le plan peut être représenté par une équation de la forme ax+by+c = 0. C’est la forme la plus générale qui permet d’avoir aussi les droites verticales.
On dit une équation, car en multipliant par une constante non nulle on a une infinité de possibilités.
Equation de droite à partir de deux points
Méthode
Si on connait deux points distincts M(u,v) et M'(u',v') et qu’on cherche une équation de la droite passant par ces deux points :
Si u=u' alors la droite est verticale et on peut donc l’écrire x = u
Sinon, on cherche une droite de la forme y = ax + b. M et M’ doivent vérifier, en remplaçant dans l’équation y = ax+b
\left\{\begin{array}{ll}
v= au+b\\
v' = au' +b
\end{array} \right.En faisant la différence on obtient v'-v = a(u'-u) et en divisant, on obtient que nécessairement a = \dfrac{v'-v}{u'-u} . Puis on calcule b via v= au+b \iff b = v-au.
Si on veut une forme générale, cela donne :
y = \dfrac{v'-v}{u'-u}(x-u)+vExercices corrigés
Exercice 1 On cherche une équation de la droite qui passe par M(1,2) et M'(3,4). Trouver une équation de la droite passant par M et M.
On cherche donc une équation de la forme y= ax+b.
On a alors : a = \dfrac{4-3}{2-1} = 1 puis b = 2 - a \times 1 = 1 . Une équation de droite est donc y = x+1
Exercice 2 : On connait les points A (5,8) et B (8,5). Trouver une équation de la droite passant par A et B.
En cherchant une équation de la forme y = mx+p , on a : m = \dfrac{8-5}{5-8} = -1 puis 8 = -5 + p \iff p = 8+5 = 13 . On obtient donc comme équation de droite y = -x +13
Equation de droite à partir d’un point et d’un vecteur de la droite
Méthode
Soit un vecteur AB de coordonnées (x_B-x_A, y_B-y_A) et un point A de coordonnées (x_A,y_A) . Un point M de coordonnées (x,y). Le vecteur AM de coordonnées (x-x_A,y-y_A) est colinéaire au vecteur AB. Leur produit vectoriel AM \wedge AB est donc nul :
(x_B-x_A)(y-y_A) - (y_B-y_A)(x-x_A) = 0
On développe :
-x(y_B-y_A) +y(x_B-x_A) - x_A(y_B-y_A) + y_A(x_B-x_A)=0
Ce qui se simplifie en
-x(y_B-y_A) + y(x_B-x_A) + x_Ay_B- y_Ax_B=0
Si x_B = x_A, l’équation s’écrit alors x=x_A. Sinon, on peut l’écrire sous la forme
y = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x +(y_A - \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}x_A)Exercice corrigé
Trouver une équation de la droit passant par le point A(1,5) et du vecteur de la droite u(2,3).
Un point M(x,y) appartient à la droite si et seulement si AM \wedge u = 0 ce qui s’écrit sous la forme
\begin{array}{ll}
& (x-1)\times 3 - (y-5)\times 2 = 0\\
\iff & 3x - 3 -2y +10 = 0 \\
\iff& 3x - 2y +7 = 0
\end{array}Equation de droite à partir d’un point et d’un vecteur normal
Méthode
On dispose d’un point A(a,b) et d’un vecteur normal n (u,v). Un point M(x,y) appartient à la droite si et seulement si le produit scalaire entre AM et n est nul : AM. n .
On a donc : (x-a)u+(y-b) v = 0 \iff ux +vy -au-bv=0
Exercice corrigé
Déterminer une équation de la droite passant par A(-3,2) et dont un vecteur normal est n(1,4).
Un point M(x,y) de la droite vérifie AM.n ce qui se réécrit en
\begin{array}{ll}
& (x+3)\times 1 + (y-2)\times 4 = 0\\
\iff & x +3+4y -8 = 0 \\
\iff& x +4y -5 = 0
\end{array}On pourrait aussi le réécrire en y = \dfrac{-1}{4} x +\dfrac{5}{4}
Equation de droite à partir de la pente et d’un point
Méthode
Si on cherche une équation de droite de la forme y = mx+p, alors on sait que m est la pente. Il reste à trouver p. Si on connait un point A de coordonnées (a,b), alors b= ma + p \iff p =b-ma , ce qui nous permet de trouver la valeur de p
Exercice corrigé
Trouver une équation de la droite de pente 5 et qui passe par le point A(-3,-4)
On cherche une équation de la forme y = mx+p. On sait que m = 5. Puis on remplace x et y par les coordonnées de A pour trouver p : -4 = -3m +p \iff p = 3m-4= 15-4 = 11.
Une équation de la droite est donc y = 5x +11
