Enoncé et corrigé : Spécialité Mathématiques 2023 – Centres Etrangers 1

Voici le corrigé proposé par Progresser-en-maths sur le sujet Centres Etrangers 1 de l’enseignement de spécialité mathématique pour l’année 2023.

Enoncé

Corrigé

Exercice 1

Question 1

La bonne réponse est c. En effet,

\dfrac{1+2^n}{3+5^n} =\dfrac{2^n}{5^n} \dfrac{\frac{1}{2^n}+1}{\frac{3}{5^n}+1}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n\dfrac{\frac{1}{2^n}+1}{\frac{3}{5^n}+1}

avec \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 0 et \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{\frac{1}{2^n}+1}{\frac{3}{5^n}+1}=1

Question 2

On utilise (uv)' = u'v + uv' . On a donc : f'(x)= 2x\ln(x) +x^2 \dfrac{1}{x}= x(2\ln(x)+1) . La bonne réponse est b.

Question 3

Comme h est négative sur [-\infty;1] , H est décroissante sur le même intervalle donc ]-\infty;0] . Et comme H(0)=0 , on a H \geq 0 sur ce même intervalle.

La bonne réponse est a.

Question 4

Il faut continuer tant que l’erreur est au moins de 0.001. Donc on peut éliminer la réponse c. Si la quantité est négative et comme la fonction est croissante, alors on sait que la valeur recherchée est plus grande. Donc on peut éliminer a. On élimine b car sinon on n’actualisera jamais m (qui doit être dans la boucle).

La réponse est donc d.

Question 5

L’ordre n’a pas d’importance ici. On aura donc 2 boules vertes (probabilité \dfrac{7}{10}) et une boule bleue (probabilité \dfrac{3}{10}). La probabilité est donc \binom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\left(\dfrac{3}{10}\right)) ce qui correspond à la réponse d.

Exercice 2

Partie A

Question 1 : On sait que p_0 = 1 . On a donc p_1 =p(B_1) = p_{B_0} (B_1) \times P(B_0) = p(B_0) \times 0,9 = p_0 \times 0,9= 0,9

Ensuite, on a le système complet d’évènement \{B_1, \bar{B_1}\} ce qui nous donne, avec la formule des probabilités totales :

\begin{array}{ll}
p_2 &= p(B_2) \\
&= p(B_1)\times p_{B_1}(B_2)+ p( \bar {B_1} )\times p_{\over{B_1}}(B_2)\\
&= p_1\times p_{B_1}(B_2)+ (1-p_1)\times \times p_{\over{B_1}}(B_2)\\
&=0,9\times 0,9 + 0,1 \times 0,4\\
& = 0,81 + 0,04\\
&= 0,85
\end{array}

ce qui est bien le résultat attendu.

Question 2 : On doit obtenir cet arbre pondéré :

Question 3 : On a la formule suivante en s’inspirant de la question précédente :

\begin{array}{ll}
p_{n+1} &= p(B_{n+1}) \\
&= p(B_n)\times p_{B_{n+1}}(B_{n+1})+ p( \bar {B_n} )\times p_{\over{B_n}}(B_{n+1})\\
&= p_n\times p_{B_{n+1}}(B_2)+ (1-p_n)\times \times p_{\over{B_n}}(B_{n+1})\\
&=0,9\times p_n + (1-p_n) \times 0,4\\
& = 0,5p_n + 0,4\\
\end{array}

ce qui est bien le résultat demandé.

Question 4a : Initialisation : p_0 = 1\geq 0,8

Hérédité : On suppose que pour un n fixé, on a p_n \geq 0,8 . On a alors, avec le résultat de la question 3 : p_{n+1} = 0,5 \times p_n + 0,4 \geq 0,5 \times 0,8 + 0,4 = 0,8

On a donc bien démontré le résultat par récurrence

Question 4b : L’entreprise peut annoncer qu’à tout moment le parc est fiable à au moins 80%.

Question 5a : Pour tout n, on a u_{n+1} = p_{n+1} - 0,8 = 0,5 p_n + 0,4 - 0,8 = 0,5 p_n - 0,4 = 0,5 (p_n - 0,8) = 0,5 u_n.

De plus, u_0 = p_0 - 0,8 = 0,2 . La suite (u_n) est donc géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,2.

Question 5b : On peut donc en déduire qu’elle s’écrit, d’après le cours sur les suites géométriques, on a u_n = 0,2 \times (0,5)^n

Comme on a u_n = p_n - 0,8 , on a p_n = u_n + 0,8 = 0,2 \times (0,5)^n + 0,8

Question 5c : Il est maintenant facile de conclure que \displaystyle \lim_{n \to +\infty} p_n = 0,8

Partie B

Question 1 :

On répète 15 fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre 0,8. X suit donc la loi binomiale de paramètres n=15 et p=0,8 .

Question 2 : On a, d’après la formule du cours

\mathbb{P}(X=15) = \binom{15}{15} (0,8)^{15}(0,2)^0 =(0,8)^{15} \approx 0,0351

Question 3 : Ici, on a

\mathbb{P} (X \geq 10) = 1- \mathbb{P}(X \leq 9 ) \approx 0,939

La probabilité qu’au moins 10 trottinettes soient en bon état est d’environ 0,939.

Question 4 : En moyenne 12 trottinettes sont en bon état.

Exercice 3

Question 1

I est le milieu de [EF]. Les coordonnées de E sont (0,0,8) et celles de F sont :

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF} = 4\overrightarrow{i} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}=  4\overrightarrow{i} +\dfrac{1}{2}8 \overrightarrow{k}  =  4\overrightarrow{i} +4 \overrightarrow{k}   

Les coordonnées de F sont donc (4,0,4) ce qui en faisant la moyenne nous donne pour I : (2,0,6).

De plus, on a :

\overrightarrow{AJ} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}=  +\dfrac{1}{2}8 \overrightarrow{k}  = 4 \overrightarrow{k}   

Les coordonnées de J sont donc (0,0,4).

Question 2

Question a : Il suffit de montrer que \overrightarrow{GI} et \overrightarrow{GJ} sont perpendiculaires à \overrightarrow{n}. Pour cela, on a :

• \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AJ}= =4\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k} . G a donc pour coordonnées (4,4,4)
• Ensuite, \overrightarrow{GI}= (2,4,-2)
• De même, \overrightarrow{GJ}= (-4,-4,0)

Ainsi, on a

\begin{array}{ll}
\overrightarrow{GI}.\overrightarrow{n}= (2,4,-2).(-1,1,1) = -2+4-2= 0 \\
\overrightarrow{GJ}.\overrightarrow{n}= (-4,-4,0).(-1,1,1) = -4+4+0= 0 
\end{array}

Donc le plan IGJ est normal à la droite \overrightarrow{n}.

Question b : Une équation peut être de la forme -x+y+z +d = 0 (en prenant devant x, y et z les valeurs de \overrightarrow{n}). Comme G appartient au plan on a -4+4+4 +d = 0 \iff d = - 4. D’où l’équation suivante : -x+y+z - 4 = 0

Question 3

Il est facile de voir que H a pour coordonnées (0,4,8). On a lui ajoute le vecteur \overrightarrow{n} pour obtenir :

\left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & -t \\
y & = & t+4\\
z & =& t+8
\end{array}\right.

Question 4

Il suffit de prendre ces coordonnées et de montrer qu’elles appartiennent bien à la droite au plan. On a :

De plus, en prenant t =- \dfrac{8}{3}, on s’aperçoit que L appartient bien à la droite passant par H.

Question 5

Il suffit de calculer HL car la distance correspond à la distance du point au point d’intersection entre le plan et la droite normale. On a donc

HL  = \sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(4-\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(8-\dfrac{16}{3}\right)^2}= \sqrt{3\left(\dfrac{8}{3}\right)^2}= \dfrac{8}{3}\sqrt{3}

Question 6

Pour répondre, on calcule le produit scalaire entre IG et IJ. On a

\overrightarrow{IG}.\overrightarrow{IJ}= (-2,-4,2).(-2,0,-2)= 4+0-4 = 0

Ce qui suffit pour conclure.

Question 7

La base est IGJ et a pour aire \dfrac{IG.IJ}{2}= \dfrac{\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2}}{2}= \dfrac{\sqrt{8 \times 24}}{2}=\sqrt{48}= 4 \sqrt{3}. De plus, on a sait que la hauteur est HL = \dfrac{8}{3}\sqrt{3}.

\dfrac{IG.IJ}{2}= \dfrac{\sqrt{(-2)^2+(-4)^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2}}{2}= \dfrac{\sqrt{8 \times 24}}{2}=\sqrt{48}= 4 \sqrt{3}

D’où le volume recherché : V =4\sqrt{3} \times \dfrac{8}{3}\sqrt{3} = \dfrac{32}{3}

Exercice 4

Affirmation 1

Dérivons cette fonction qui est dérivable en tant que somme et composée de fonctions dérivables :

f'(t) = -(-t+1) e^{0,5t^2+t+1} =(t-1)e^{0,5t^2+t+1}

La fonction est donc décroissante sur [0,1]. Cette anecdote est fausse.

Affirmation 2

On a, en composant les limites : \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = e^3 \approx 20,086 < 21 donc on ne dépassera pas les 21 000 bactéries. Cette anecdote est fausse.

Affirmation 3

On a :

• f(0) = e^3 - e^2 \approx 12,7 > 10
• f(1) \approx 7,9 < 10
• \displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = e^3 \approx 20,086 > 10
• f est strictement décroissante sur [0,1] puis strictement croissante sur [0,1]

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on a donc une unique solution sur ]0,1 puis une unique solution sur ]1;+\infty[ soit exactement 2 solutions.

Cette anecdote est vraie.

Ce qui termine la correction de ce sujet de mathématiques spécialités centres étrangers 2023.