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Files d'attente
Maths Facts

Comment modéliser les files d’attente ?

Parmi ces deux manières d’attendre dans une file d’attente, laquelle est la plus rapide ?

Est-ce celle-ci ?

Ou bien celle-là ?

Introduction

Les systèmes de files d’attente sont présents partout :

  • Dans les supermarchés
  • A l’hôpital
  • Sur la route, avec les péages par exemple ou les feux et ronds-points
  • Les tâches effectuées par le processeur d’un ordinateur
  • La file d’attente le premier jour des soldes ou avant un concert

La modélisation des files d’attente est un outil important pour évaluer la performance de ces systèmes. Cela peut permettre de faire des économies et éviter de perdre les personnes impatientes.

Les caractéristiques de cette population

Voici des caractéristiques utilisées pour faire cette modélisation

La population qui attend

On a deux possibilités :

  • Population finie : La vitesse d’arrivée des gens dépend du nombre de clients servis et qui attendent. Exemple : Si trop de personnes attendent à un restaurant, il est possible que les gens se découragent et attendent à un autre restaurant.
  • Population infinie : La vitesse d’arrivée ne dépend pas du nombre de personnes servies ou qui attendent. Exemple : L’entrée d’un très grand centre commercial

La capacité du système

La capacité peut être à deux niveaux : nombre de clients pouvant être servis en même temps (qui ont donc terminé leur file d’attente) ou bien nombre de clients en attente (une file d’attente peut être limitée)

  • Capacité limitée : Un bon exemple est une station-service où le nombre de personnes pouvant faire le plein en même temps.
  • Capacité illimitée : Un concert dont le nombre de personnes autorisées à attendre n’a pas de limite définie est quelque chose qui correspond à cela.

La discipline des clients

  • Premier arrivé, premier servi : Système standard : le premier qui arrive est le premier qui peut être servi
  • Dernier arrivé, premier servi : Le dernier qui arrive est le premier servi. Ce n’est pas quelque chose qui arrive avec des gens qui attendent mais plutôt lorsqu’on empile des objets, on va souvent récupérer le dernier de la pile.. qui a été le dernier posé.

Les vitesses d’arrivée et de service

  • Taux d’arrivée : A quelle vitesse les clients arrivent-ils au cours du temps ? Cette vitesse est souvent modélisée par une loi de Poisson
  • Taux de service : A quelle vitesse les clients passent-ils ? Cette vitesse est souvent modélisée par une loi exponentielle négative.

Les types de file d’attente

On a identifié 4 types de files d’attente :

  • Une file d’attente, un serveur
  • Plusieurs files d’attentes, un serveur
  • Une file d’attente, plusieurs serveurs (seconde image)
  • Plusieurs files d’attente, plusieurs serveurs (première image)

La loi de Little

Le nombre moyen de clients L dans un système stationnaire est égal à la moyenne long terme du taux d’arrivée λ multiplié par le temps moyen W qu’un consommateur passe dans le système

L = \lambda W

Par exemple, si dans un Starbucks, 40 clients arrivent chaque heure. Un client passe en moyenne 30 minutes (0,5 heure) dans le magasin. Le nombre moyen de clients qui attendent est alors

L = 40 \times 0,5 = 20

Donc cela donne comment dimensionner le magasin pour bien gérer la taille de son magasin.

Conclusion

Finalement : quelle file d’attente est la plus rapide ?

Guy Rouleau nous donne la réponse via une simulation :

Average wait time
Source

Le résultat est assez clair : Il vaut mieux faire une seule file d’attente, c’est ainsi que l’on attendre le moins. Peut-on avoir une intuition derrière ce résultat ? Comme toutes les files d’attente ne vont pas à la même vitesse, le fait d’en avoir qu’une seule annule certains effets. Qu’en pensez-vous ?

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