Comment estimer des intégrales ? La méthode des rectangles

Lorsqu’il est compliqué de calculer des intégrales, on peut estimer leur valeur à l’aide d’aires de rectangles.
Méthode des rectangles

L’objectif de cet article est de montrer comment on peut estimer la valeur d’intégrales difficiles à calculer explicitement en calculant les aires de différents rectangles. Cette méthode s’appelle la méthode des rectangles.

Qu’est ce que la méthode des rectangles?

Considérons une fonction f continue sur son intervalle de définition. Nous allons dans un premier temps considérer un exemple. Intuitivement, la grandeur \displaystyle \int_{1}^{25}f(t)dt représente l’aire sous la courbe représentative de f sur [1,25]. Plutôt que connaître exactement cette aire sous la courbe, on peut chercher à l’approximer en découpant l’aire sous la courbe en une multitude de rectangles comme l’indique l’image suivante:

Méthode des rectangles
Méthode des rectangles gauches appliqué à la fonction inverse sur [1,25]

On appelle cette méthode “la méthode des rectangles à gauche”. En effet, la longueur de chaque rectangle est la valeur de la fonction à gauche du rectangle. On définit de manière analogue, la méthode des rectangles à droite. Ici la largeur de chaque rectangle est de 1. Sur l’image précédente, on a pour \;tout \; x\geq 1, \; f(x) = \frac{1}{x} . L’aire représentée par le premier rectangle est alors largeur \times longueur = 1 \times f(1) = f(1). de manière analogue, le k-ème rectangle a pour aire f(k). L’approximation de l’aire sous la courbe est alors -pour la fonction représentée sur l’image précédente- \displaystyle \sum_{k=1}^{24}1 \times f(k)

Généralisation du procédé

Impact de la largeur des rectangles

Nous avions dans l’illustration précédente, une largeur de rectangle de 1. Toutefois, on observe également que la somme des aires des rectangles est nettement différente de l’intégrale. Les rectangles ne collent pas la fonction. On peut donc étudier l’impact du changement de cette largeur. D’une part, une conséquence immédiate d’une plus petite largeur de rectangles, c’est la nécessité d’avoir plus de rectangles pour calculer la même aire sous la courbe. Regardons maintenant ce qu’il se passe lorsqu’on augmente le nombre de rectangles.

largeur des rectangles
Illustration de la méthode des rectangles pour 24, 48 et 150 rectangles

On observe ainsi que plus nous diminuons la largeur des rectangles (plus nous avons de rectangles), plus l’approximation de l’intégrale de cette méthode est fine. On note l la largeur des rectangles, n le nombre de rectangles, on a l*n = 24 (24 est la “largeur d’intégration” dans notre exemple). L’approximation de l’intégrale par la méthode des rectangles est \displaystyle \int_{1}^{25}f(t)dt \approx \sum_{k=0}^{n-1} l\times f(1 +kl)

Méthode des rectangles dans un cas général

En s’appuyant sur le cas précédent, on peut généraliser le procédé à n’importe quelle fonction continue sur un segment [a,b]. Afin d’approximer une intégrale, plutôt que choisir la largeur l des rectangles, on choisit (cela revient de fait au même) le nombre n de rectangles, la largeur l est alors fixée par : l = \frac{b-a}{n}.

On a alors \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt \approx \sum_{k=0}^{n-1} \frac{b-a}{n} \times f(a +k \frac{b-a}{n}).

Ceci est ce qui concerne la méthode des rectangles à gauche. Pour la méthode des rectangles à droite, tout est identique mais les longueurs des rectangles sont prises à droite. On a donc :

\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)dt \approx \sum_{j=1}^{n} \frac{b-a}{n} \times f(a +j \frac{b-a}{n}) j varie de 1 à n là où k variait de 0 à n-1. Nous savons donc comment à l’aide de simples rectangles, nous pouvons facilement approcher la valeur d’intégrales qu’il est parfois très compliqué de calculer explicitement.
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