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Comment démontrer que 1+1 = 2 ? Les axiomes de Peano

Est-ce que 1+1 = 2 se démontre ? Nous allons voir que oui grâce aux axiomes de Peano

La preuve dans Principia Mathematica

La preuve de 1+1 = 2 de Alfred North Whitehead et Bertrand Russell apparait à la page 362 du livre Principia Mathematica. Ce livre fait 674 pages. Il faut donc construire des éléments mathématiques pendant 362 pages avant d’arriver à la preuve de ce résultat simple : 1 + 1 = 2. Dans cet article, nous n’allons pas refaire cette preuve là !

Principia mathematica
Principia Mathematica

Les axiomes de Peano

Nous allons ici parler des axiomes dits de l’arithmétique de Peano. On dispose de 4 éléments pour travialler :

  • 0 : Le plus petit nombre
  • s : La fonction successeur. Cette fonction permet de définir à tout nombre un unique successeur. On note s(n) le successeur de n.
  • + : L’addition
  • . : La multiplication

On dénombre 8 axiomes :

Premier axiome

\forall x,\neg (sx = 0)

Cela veut donc dire 0 n’est le successeur de personne, c’est le premier entier

Second axiome

\forall x,(x= 0 \vee \exists y, x = s(y))

Si on prend un nombre, soit il est nul, soit il est le successeur d’un autre

Troisième axiome

\forall x ,\forall y, (s(x)=s(y) \Rightarrow x=y)

Si les successeurs respectifs de deux nombres sont égaux alors ces deux nombres sont égaux. Dit autrement, la fonction successeur est injective !

Quatrième axiome

\forall x ,(x+0=x)

Ajouter 0 à tout nombre ne change pas ce nombre. Autrement dit, 0 est un élément neutre.

Cinquième axiome

\forall x ,\forall y ,(x+s(y)=s(x+y))

Un nombre auquel on ajoute le successeur d’un autre nombre est égal au successeur de la somme de ces deux nombres

Sixième axiome

\forall x, x.0 = 0

Tout nombre multiplié par 0 est égal à 0. 0 est un élément dit absorbant.

Septième axiome

\forall x, \forall y, (x.s(y) = (x.y)+x)

C’est en fait la distributivité de la multiplication qui est invoquée ici

Huitième axiome

Pour tout formule

\phi(x,x_1,\ldots,x_n) 

à n+1 variables,

\begin{array}{l}
\forall x_1, \ldots, \forall x_n, \\
((\varphi(0,x_1, \ldots,x_n)\wedge (\forall x (\varphi(s(x),x_1,\ldots,x_n))))\Rightarrow \forall x, \varphi(x,x_1,\ldots,x_n))
\end{array}

Ce dernier axiome ressemble fortement à une propriété de récurrence.

Voilà, on a énoncé les 8 axiomes de Peano.

Démonstration de 1+1 = 2

On va donc utiliser pour cela certains des axiomes de Peano énoncés plus haut.
Partons de 1+1. On utilise le fait que 1 est le successeur de 0 :

1 + 1 = 1 + s(0)

On utilise ensuite le cinquième axiome :

1 + s(0) = s(1 + 0) 

Puis le quatrième axiome :

s(1+0) = s(1) 

On en conclut donc que

s(1) = 2 

Ainsi :

1 + 1 = 2

Vous souhaitez manipuler plus ces axiomes ? Alors essayez de montrer que

4 \times 3 = 12

Vous allez voir, c’est assez long !

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