Comment approximer le périmètre d’une ellipse ?

Il est facile de calculer le périmètre du cas particulier d’ellipse très connu : le cercle. Pour le cercle, son périmètre est

P = 2 \pi R

où R est le rayon du cercle.
Dans la suite de cet article, nous allons considérer une ellipse d’équation cartésienne :

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1

Toute translation ou rotation ne changeant rien à la valeur du périmètre, nous avons donc fait le choix de centrer cette ellipse en l’origine du repère, alignée avec les axes.

L’approximation classique du périmètre de l’ellipse

La formule classique, que l’on retrouve un peu partout du périmètre de l’ellipse est la suivante

P \approx 2\pi \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}

Les formules de Ramanujan pour le périmètre de l’ellipse

Première formule de Ramanujan

Ramanujan nous a habitués à des formules toutes plus rocambolesques les unes que les autres, notamment celles sur le nombre pi. Voici sa première approximation du périmètre de l’ellipse.

P \approx \pi\left(3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right)

Seconde formule de Ramanujan

Et voici sa seconde formule, là on arrive sur du rocambolesque ! On pose

h = \dfrac{(a-b)^2}{(a+b)^2}

L’approximation est alors :

P \approx \pi (a+b) \left( 1 + \dfrac{3h}{1 + \sqrt{4-3h}}\right)

Sympa hein ? Heureusement qu’on ne nous demande pas en cours d’apprendre de telles formules !

A l’aide d’une intégrale

On va établir une formule absolue mais qui n’admet pas de valeur calculable directement. L’ellipse vérifie l’équation paramétrique

\left\{\begin{array}{lcl}
x(t) & = & a \cos(t)\\
y(t) & = & b \sin(t)
\end{array} \right., 0 \leq t \leq 2 \pi

On a alors, d’après une formule sur les courbes paramétrées :

P = \int_0 ^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2 }dt

Ce qui donne

P = \int_0 ^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2 \cos^2 (t)}dt

Et grâce à diverses symétries, on obtient :

P = 4\int_0 ^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^2\sin^2(t) +b^2 \cos^2 (t)}dt

Cette intégrale n’a pas de solution explicitable. On peut alors utiliser des méthodes d’approximation d’intégrales pour obtenir à nouveau une approximation de ce périmètre :

• Méthode des rectangles
• Méthode des trapèzes
• Formule de Simpson
• Méthode de Monte-Carlo

Et pour savoir pourquoi ce périmètre n’est pas calculable, je vous conseille cette vidéo qui vous permettra d’en apprendre plus !