Combien vaut 0 puissance 0 ?

0⁰ est une valeur indéfinie, sa valeur est controversée. Comme nous allons le voir dans cet article, 0 puissance 0 peut prendre plusieurs valeurs. Il est nécessaire pour bien comprendre cet article d’avoir lu le chapitre sur les puissances.

Par les puissances

On rappelle que

\begin{array}{l}
1^0 = 1 \\
2^0 = 1\\
(-3)^0 = 1\\
(-5)^0 = 1
\end{array}

Et de manière générale, pour tout x réel

x^0 = 1

Il apparait donc naturel que

0^0=\lim_{x \rightarrow 0}x^0 = 1

Mais d’un autre côté, on a :

\begin{array}{l}
0^1 = 0\\
0^2 = 0\\
0^3 = 0
\end{array}

Et pour tout nombre réel strictement positif, on a :

0^x = 0

Il apparait donc naturel d’avoir dans ce cas :

0^0= \lim_{x \rightarrow 0} 0^x = 0

Avec le binôme de Newton

Voici le résultat qu’on a avec le binôme de Newton :

1= 1^n = (1+0)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k}0^k

Lorsque k est non nul, on a :

0^k = 0

Et donc :

1=1^n = \binom{n}{0} 1^{n}0^0 =0^0

Ce qui fait que dans ce cas

0^0 = 1

On a donc, via le binôme de Newton, 0 puissance 0 qui vaut 1.

Via la théorie des ensembles

A^B est l’ensemble de toutes les fonctions de B vers A où A et B sont des ensembles. On sait que le nombre de fonctions de B vers A est #A^#B où # désigne le cardinal.
Dans ce contexte, 0⁰ représente le cardinal de l’ensemble des fonctions de l’ensemble vide vers l’ensemble vide. Une seule fonction vérifie cela : la fonction vide. On a alors dans ce cas :

0^0 = 1

En utilisant des limites

Des limites tendant vers “0⁰” donnent diverses valeurs :

0^0 = \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = 1

Voici une seconde formule :

0^0 = \lim_{x \rightarrow 0^+}\left( e^{-\frac{1}{x^2}}\right)^x= 0

On peut encore extraire une autre formule :

0^0 = \lim_{x \rightarrow 0^+}\left( e^{-\frac{1}{x^2}}\right)^{-x}= +\infty

Et en voici une dernière, avec un quatrième jeu de valeur :

0^0 = \lim_{x \rightarrow 0^+}\left( e^{-\frac{1}{x}}\right)^{nx}= e^{-n}

Pour conclure

Comme on l’a vu dans la partie sur les limites, on peut faire prendre n’importe quelle valeur à 0⁰. Essayez des variantes de la dernière limite, vous verrez qu’on peut atteindre les valeurs que l’on veut. Néanmoins, pour les limites les plus usuelles de ce nombre, on retrouve que sa valeur est soit 0, soit 1. Et parmi les exemples qu’on a utilisés, on obtient 1 un petit peu plus souvent

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