Changement de base sur les matrices : Cours et exercices

Dans cet article, nous allons explorer le concept de changement de base sur les matrices, une notion fondamentale en algèbre linéaire.

Prérequis

• Notion de matrice
• Bases d’un espace vectoriel
• Produit matriciel

Définition

Changement de base

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Si B et B' sont deux bases de E, alors pour tout vecteur x de E, ses coordonnées dans la base B et dans la base B' sont reliées par une matrice de passage.

P_{B \to B'} = M_{B'}(Id_E)_B

où M_{B'}(Id_E)_B est la matrice de l’identité de E dans les bases B et B'.

Exemple

Soit E un espace vectoriel avec les bases B = (e_1, e_2) et B' = (e'_1, e'_2). Si un vecteur x a pour coordonnées (a, b) dans la base B et (a’, b’) dans la base B', alors la matrice de passage P_{B \to B'} permet de passer de (a, b) à (a’, b’).

De plus, on a la relation fondamentale :

X_B = P_{B \to B'} X_{B'}

Qui permet d’exprimer les coordonnées de X dans l’ancienne base par rapport aux coordonnées dans la nouvelle base. (Attention au sens de la formule)

Propriétés

1. La matrice de passage d’une base à elle-même est la matrice identité.
2. La matrice de passage de la base B à la base B' est l’inverse de la matrice de passage de B' à B.

Relation fondamentale

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient \mathcal{B} et \mathcal{B'} deux bases de E, \mathcal{C} et \mathcal{C'} deux bases de F. Soit encore f une application linéaire de E dans F. Notons maintenant

• A la matrice de f dans les bases \mathcal{B} (au départ) et \mathcal{C} (à l’arrivée);
• C la matrice de f dans les bases \mathcal{B}'  (au départ) et \mathcal{C}'  (à l’arrivée);
• P la matrice de passage de \mathcal{B} à \mathcal{B}';
• Q la matrice de passage de \mathcal{C} à \mathcal{C}';

Alors on a la relation :

A=QBP^{-1}\iff B=Q^{−1}AP.

De plus, lorsque l’application linéaire f est un endomorphisme de E, c’est-à-dire une application linéaire de E dans E. Dans ce cas, si

1. A est la matrice de f dans la base \mathcal{B},
2. B est la matrice de f dans la base \mathcal{C},
3. B est la matrice de passage de \mathcal{B} à \mathcal{C}

Alors on a :

A = PBP^{-1} \iff B =P^{-1}AP

Exercice corrigé

Enoncé

Soit l’espace vectoriel E sur \mathbb{R}^2. Considérons deux bases :

• B = {(1,0), (0,1)} (base canonique)
• B' = {(1,1), (1,-1)}

Trouvez la matrice de passage P_{B \to B'} de la base B à la base B'.

Corrigé

Pour trouver la matrice de passage, nous devons exprimer chaque vecteur de la base B dans la base B'.

1. Pour le vecteur (1,0) de B:
   Nous cherchons \alpha et \beta tels que :
   (1,0)= \alpha(1,1) + \beta(1,-1). En résolvant le système, nous obtenons : \alpha = \dfrac{1}{2} et \beta = \dfrac{1}{2}

2. Pour le vecteur (0,1) de B:
   Nous cherchons \alpha et \beta tels que :
   (0,1)= \alpha(1,1) + \beta(1,-1). En résolvant le système, nous obtenons : \alpha = \dfrac{1}{2} et \beta = -\dfrac{1}{2}.

La matrice de passage P_{B \to B'} est donc :

P_{B \to B'} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{pmatrix}

Exercices

Exercice 1

Soit l’espace vectoriel E sur \mathbb{R}^2. Considérons deux bases :

• B = {(2,0), (0,2)}
• B' = {(1,2), (2,1)}

Trouvez la matrice de passage P_{B \to B'} de la base B à la base B'.

Exercice 2

Soit l’espace vectoriel E sur \mathbb{R}^2. Considérons deux bases :

• B = {(3,0), (0,3)}
• B' = {(2,-1), (-1,2)}

Trouvez la matrice de passage P_{B \to B'} de la base B à la base B'.

Exercice 3

Dans \mathbb{R}^3, considérez les bases :

• B = {(1,0,0), (0,2,0), (0,0,3)}
• B' = {(1,1,1), (1,2,3), (2,2,2)}

Déterminez la matrice de passage P_{B \to B'}.