Le centre est un concept fondamental en géométrie et sert au quotidien pour les cercles mais aussi d’autres objets géométriques.
Définition du centre
Le centre est le point équidistant d’autres points remarquables d’un objet. Un objet peut ne pas avoir de centre.
Centre d’un cercle
Pour un cercle ou une sphère, le centre est le point équidistant des points de la courbe.
Pour un arc de cercle, on va définir son centre comme étant le centre du cercle associé.
Centre d’une sphère
Pour une sphère, le centre est le point équidistant des points de la surface
Centre d’un segment
Pour un segment, le centre est le milieu des deux extrémités. D’un point de vue vocabulaire, on peut l’appeler le milieu d’un segment.
Centre du carré, losange, parallélogramme, rectangle
Pour le carré, le losange, le parallélogramme ou encore le rectangle, le centre est un centre de symétrie. On va donc le définir comme le point où les diagonales se croisent.
Centre d’un polygone régulier
Pour un polygone régulier, on définit le centre comme étant le point de rencontre des médiatrices de ce polygone.
Centre d’une ellipse
Pour une ellipse, le centre est le point de rencontre de ses deux axes.
Centre de masse
Pour définir le centre d’un objet quelconque, on peut utiliser le centre de masse. Celui-ci est défini par :
\left\{\begin{array}{lll}
x_G &= & \displaystyle\dfrac{\int_{\sum} x dV}{V}\\
y_G &= & \displaystyle\dfrac{\int_{\sum} y dV}{V}\\
z_G &= & \displaystyle\dfrac{\int_{\sum} z dV}{V}
\end{array}\right.Avec V qui est défini par \int_{\sum} dV
Cette définition est un cas particulier du centre de masse en physique où on a considéré que que la masse volumique était uniforme. On appelle aussi ce centre de masse isobarycentre.
On définit aussi le centre de masse par rapport à un point O via l’intégrale suivante :
\overrightarrow{OG} = \int_{\sum} \overrightarrow{OM} dVMaintenant, ce que je vous laisse vérifier c’est que le centre de masse correspond bien aux centres des objets vus plus hauts : cercle, sphère, segment, pentagone régulier.
