Dans cet article nous allons définir la notion de barycentre avec ses principales propriétés
Prérequis
Définition du barycentre
Les raisonnements suivants auront lieu dans le plan mais ils sont tout aussi valables dans l’espace ou en plus grande dimension
Soient deux points A et B du plan et a et b des coefficients tels que a+b \neq 0 . Le barycentre de A et B avec les pondérations a et b est l’unique point G tel que
a\overrightarrow{GA} +b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} On peut utiliser la relation de Chasles pour avoir une formule permettant d’exprimer G :
\begin{array}{ll}
& a\overrightarrow{GA} +b(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{0} \\
\iff & (a+b) \overrightarrow{GA}+ b\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\\
\iff & b\overrightarrow{AB} = (a+b) \overrightarrow{AG}\\
\iff & \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b} \overrightarrow{AB}\\
\end{array} C’est ce qui justifie que a+b doit être non nul.
Cela nous dit aussi que A, B et G sont alignés ou autrement dit que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AG} sont colinéaires
Généralisation à n points
Soient A_1, \ldots, A_n et leur pondération a_1, \ldots, a_n tels que a_1 + \ldots + a_n \neq 0 . Leur barycentre est défini alors comme l’unique point G tel que
a_1 \overrightarrow{A_1G}+ \ldots + a_n \overrightarrow{A_nG} = \overrightarrow{0}Calcul des coordonnées
Soit M un point quelconque du plan. On a, grâce à la relation de Chasles
\begin{array}{ll}
& a(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}) +b(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{0} \\
\iff & (a+b)\overrightarrow{GM}+a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\
\iff &a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG} \\
\iff &\overrightarrow{MG} = \dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{MA}+\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{MB} \\
\end{array} En prenant M l’origine du repère, on obtient alors
\left\{\begin{array}{ccc}
x_G & =& \dfrac{ax_A+bx_B}{a+b}\\
y_G & =& \dfrac{ay_A+by_B}{a+b}
\end{array} \right. On a une formule similaire avec n points :
\left\{\begin{array}{ccc}
x_G & =& \dfrac{a_1x_{A_1}+a_2x_{A_2}+\ldots+a_nx_{A_n}}{a_1+\ldots+a_n}\\
y_G & =& \dfrac{a_1y_{A_1}+a_2y_{A_2}+\ldots+a_ny_{A_n}}{a_1+\ldots+a_n}
\end{array} \right. Isobarycentre
Si a_1= a_2 =\ldots = a_n \neq 0 , le barycentre est alors appelé isobarycentre
Quelques propriétés
- Commutativité : Il est possible de changer l’ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient
- Homogénéité : Il est possible multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. Il est usuel d’alors prendre les coefficients dont la somme vaut 1.
