Les fonctions argch, argsh et argth font partie des fonctions usuelles. On appelle ces fonctions les fonctions hyperboliques réciproques. Il peut être intéressant de connaitre ces fonctions ou de savoir retrouver les résultats importants.
Prérequis
- Les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique
- La méthode de la calcul de la dérivée d’une fonction réciproque
- L’intégration par parties
Définition de Argch, Argsh et Argth
Argch
On définit \text{argch} : [1;+\infty] \to [0,+\infty] comme la réciproque de la fonction \text{ch} définie sur [0, +\infty[ et vérifiant donc la formule \forall x \in [0; +\infty [, \text{argch}(\text{ch}(x))= x.
Voici son graphe :
Argsh
On définit \text{argsh} : ]-\infty;+\infty[ \to ]-\infty;+\infty comme la réciproque de la fonction \text{sh} définie sur ]-\infty;+\infty[ et vérifiant donc la formule \forall x \in \R, \text{argsh}(\text{sh}(x))= x.
Voici son graphe :
Argth
On définit \text{argth} : ]-1;1[ \to ]-\infty;+\infty[ comme la réciproque de la fonction \text{th} définie sur \R et vérifiant donc la formule \forall x \in \R, \text{argth}(\text{th}(x))= x.
Voici son graphe :
Propriétés
Voici quelques propriétés importantes à retenir :
- \forall x \in [1;+\infty[, \text{sh}(\text{argch}(x)) = \sqrt{x^2-1}
- \forall x,y \in [1;+\infty[, \text{argch}(x)+\text{argch}(y) = \text{argch}(xy+\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)})
- \forall x \in \R, \text{ch}(\text{argsh}(x)) = \sqrt{1+x^2}
- \text{argch}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})
- \text{argsh}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})
- \text{argth}(x) =\dfrac{1}{2} \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x}\right)
Limites et monotonie
Voici les limites des fonctions argth, argsh et argth à leurs bornes ainsi que leur monotonie. On a :
- \text{argch}(1) = 0; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{argch}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argch} est strictement croissante sur son ensemble de définition
- \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\text{argsh}(x) = -\infty; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{argsh}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argsh} est strictement croissante sur son ensemble de définition et impaire
- \displaystyle \lim_{x \to -1}\text{argth}(x) = -\infty; \displaystyle \lim_{x \to 1} \text{argth}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argth} est strictement croissante sur son ensemble de définition et impaire
Dérivée des fonctions réciproques
Les fonctions Argth, Argsh et Argth sont dérivables et ont pour dérivée :
- \forall x \in ]1;+\infty[, \text{argch}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}
- \forall x \in \R, \text{argsh}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}
- \forall x \in ]-1;1[\text{argth}'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}
Pour cela, on a utilisé la formule de dérivation des fonctions réciproques :
Primitives des fonctions réciproques
Les fonctions Argch, Argsh et Argth sont intégrables et ont pour primitive :
- \displaystyle \int \text{argch}(x) dx=x \text{argch}(x) - \sqrt{x^2-1}+C
- \displaystyle \int \text{argsh}(x) dx= x \text{argsh}(x)-\sqrt{x^2+1}+C
- \displaystyle \int \text{argth}(x) dx = x \text{argth}(x) + \dfrac{1}{2}\ln(1-x^2) +C
Pour calculer ces primitives, il suffit de faire une intégration par parties :
Développements limités
Nous avons un article dédié au développement limité et nous les avons exprimé pour ces fonctions :
Exercices corrigés
Exercice 1218
Enoncé :
Corrigé : La fonction f : x \mapsto \text{argch}(x) + \text{argsh}(x) =1 est continue et strictement croissante sur [1; +\infty[. L’équation f(x) = 1 admet donc au plus une solution. De plus, on a f(1) = \text{argsh(1)} < 1 ; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty donc on a exactement une solution d’après le théorème des valeurs intermédiaires.
En prenant le sinus hyperbolique de chaque côté, on a
\begin{array}{ll}
&\sh(1) = \sh(\text{argch}(x)+\text{argsh}(x)) \\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x)+\text{argsh}(x)) \\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+\sh(\text{argsh}(x)) \ch(\text{argch}(x))\\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+x^2\\
\end{array}On utilise ensuite les propriétés vues plus haut :
\begin{array}{ll}
& \sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+x^2\\
\iff &\sh(1) = \sqrt{x^2-1}\sqrt{1+x^2}+x^2\\
\iff &\sh(1) = \sqrt{x^4-1}+x^2\\
\iff &\sh(1) -x^2= \sqrt{x^4-1}\\
\iff &(\sh(1) -x^2)^2= x^4-1\\
\iff &\sh(1)^2 -2x^2\sh(1)+x^4= x^4-1\\
\iff &x^2= \dfrac{1+\sh(1)^2}{2\sh(1)}\\
\iff &x^2= \dfrac{\ch(1)^2}{2\sh(1)}\\
\iff &x= \dfrac{\ch(1)}{\sqrt{2\sh(1)}}\\
\end{array}Ce qui est donc la solution à cet exercice.
Exercice 1219
Enoncé :
Corrigé : On a que si x < 0 alors f(x) < 0. De plus, \forall x > 0, x+\dfrac{1}{x} = \sqrt{x}^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 -2 +2 = \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2 . On a donc \dfrac{1}{2} \left( x+\dfrac{1}{x} \right) \geq 1 . Ce qui nous permet de conclure que l’ensemble de définition de f est \R_+^*
Maintenant, on utilise la formule de argch en fonction du logarithme :
\begin{array}{ll}
\text{argch}\left( \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{x}\right) \right)&= \ln\left(\dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{x}\right) +\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right) \right)^2-1}\right)\\
&= \ln\left(\dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right) +\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(x^2+2 +\dfrac{1}{x^2}\right)-1}\right)\\
&= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\sqrt{\dfrac{x^4-2x^2+1}{4x^2}}\right)\\
&= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\sqrt{\dfrac{(x^2-1)^2}{4x^2}}\right)\\
&= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)
\end{array}Maintenant, on a
- Si x \geq 1 , on a \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)= \ln \left ( \dfrac{x^2+1+x^2-1}{2x}\right) = \ln(x)
- Si 0 < x < 1 , on a \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)= \ln \left ( \dfrac{x^2+1-x^2+1}{2x}\right) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = - \ln(x)
En résumé, le résultat est f(x) = | \ln(x)|
