Argch, Argsh et Argth : Cours et exercices corrigés

Argch, Argsh et Argth : Les trois fonctions réciproques des fonctions hyperboliques avec le cours détaillé et des exercices corrigés
argch

Les fonctions argch, argsh et argth font partie des fonctions usuelles. On appelle ces fonctions les fonctions hyperboliques réciproques. Il peut être intéressant de connaitre ces fonctions ou de savoir retrouver les résultats importants.

Prérequis

Définition de Argch, Argsh et Argth

Argch

On définit \text{argch} : [1;+\infty] \to [0,+\infty] comme la réciproque de la fonction \text{ch} définie sur [0, +\infty[ et vérifiant donc la formule \forall x \in [0; +\infty [, \text{argch}(\text{ch}(x))= x.

Voici son graphe :

argch

Argsh

On définit \text{argsh} : ]-\infty;+\infty[ \to ]-\infty;+\infty comme la réciproque de la fonction \text{sh} définie sur ]-\infty;+\infty[ et vérifiant donc la formule \forall x \in \R, \text{argsh}(\text{sh}(x))= x.

Voici son graphe :

Argth

On définit \text{argth} : ]-1;1[ \to ]-\infty;+\infty[ comme la réciproque de la fonction \text{th} définie sur \R et vérifiant donc la formule \forall x \in \R, \text{argth}(\text{th}(x))= x.

Voici son graphe :

argth

Propriétés

Voici quelques propriétés importantes à retenir :

  • \forall x \in [1;+\infty[, \text{sh}(\text{argch}(x)) = \sqrt{x^2-1}
  • \forall x,y \in [1;+\infty[, \text{argch}(x)+\text{argch}(y) = \text{argch}(xy+\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)})
  • \forall x \in \R, \text{ch}(\text{argsh}(x)) = \sqrt{1+x^2}
  • \text{argch}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2-1})
  • \text{argsh}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})
  • \text{argth}(x) =\dfrac{1}{2} \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x}\right)

Limites et monotonie

Voici les limites des fonctions argth, argsh et argth à leurs bornes ainsi que leur monotonie. On a :

  • \text{argch}(1) = 0; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{argch}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argch} est strictement croissante sur son ensemble de définition
  • \displaystyle \lim_{x \to -\infty}\text{argsh}(x) = -\infty; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \text{argsh}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argsh} est strictement croissante sur son ensemble de définition et impaire
  • \displaystyle \lim_{x \to -1}\text{argth}(x) = -\infty; \displaystyle \lim_{x \to 1} \text{argth}(x) = +\infty . De plus, la fonction \text{argth} est strictement croissante sur son ensemble de définition et impaire

Dérivée des fonctions réciproques

Les fonctions Argth, Argsh et Argth sont dérivables et ont pour dérivée :

  • \forall x \in ]1;+\infty[, \text{argch}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}
  • \forall x \in \R, \text{argsh}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}
  • \forall x \in ]-1;1[\text{argth}'(x) = \dfrac{1}{1-x^2}

Pour cela, on a utilisé la formule de dérivation des fonctions réciproques :

Primitives des fonctions réciproques

Les fonctions Argch, Argsh et Argth sont intégrables et ont pour primitive :

  • \displaystyle \int \text{argch}(x) dx=x \text{argch}(x) - \sqrt{x^2-1}+C
  • \displaystyle \int \text{argsh}(x) dx= x \text{argsh}(x)-\sqrt{x^2+1}+C
  • \displaystyle \int \text{argth}(x) dx = x \text{argth}(x) + \dfrac{1}{2}\ln(1-x^2) +C

Pour calculer ces primitives, il suffit de faire une intégration par parties :

Développements limités

Nous avons un article dédié au développement limité et nous les avons exprimé pour ces fonctions :

Exercices corrigés

Exercice 1218

Enoncé :

Equation à résoudre avec argch et argsh

Corrigé : La fonction f : x \mapsto \text{argch}(x) + \text{argsh}(x) =1 est continue et strictement croissante sur [1; +\infty[. L’équation f(x) = 1 admet donc au plus une solution. De plus, on a f(1) = \text{argsh(1)} < 1 ; \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty donc on a exactement une solution d’après le théorème des valeurs intermédiaires.

En prenant le sinus hyperbolique de chaque côté, on a

\begin{array}{ll}
&\sh(1) = \sh(\text{argch}(x)+\text{argsh}(x)) \\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x)+\text{argsh}(x)) \\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+\sh(\text{argsh}(x)) \ch(\text{argch}(x))\\
\iff &\sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+x^2\\
\end{array}

On utilise ensuite les propriétés vues plus haut :

\begin{array}{ll}
 & \sh(1) = \sh(\text{argch}(x))\ch(\text{argsh}(x))+x^2\\
\iff &\sh(1) = \sqrt{x^2-1}\sqrt{1+x^2}+x^2\\
\iff &\sh(1) = \sqrt{x^4-1}+x^2\\
\iff &\sh(1) -x^2= \sqrt{x^4-1}\\
\iff &(\sh(1) -x^2)^2= x^4-1\\
\iff &\sh(1)^2 -2x^2\sh(1)+x^4= x^4-1\\
\iff &x^2= \dfrac{1+\sh(1)^2}{2\sh(1)}\\
\iff &x^2= \dfrac{\ch(1)^2}{2\sh(1)}\\
\iff &x= \dfrac{\ch(1)}{\sqrt{2\sh(1)}}\\
\end{array}

Ce qui est donc la solution à cet exercice.

Exercice 1219

Enoncé :

Une fonction avec argch

Corrigé : On a que si x < 0 alors f(x) < 0. De plus, \forall x > 0, x+\dfrac{1}{x} = \sqrt{x}^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 -2 +2 = \left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2 . On a donc \dfrac{1}{2} \left( x+\dfrac{1}{x} \right) \geq 1 . Ce qui nous permet de conclure que l’ensemble de définition de f est \R_+^*

Maintenant, on utilise la formule de argch en fonction du logarithme :

\begin{array}{ll}
\text{argch}\left( \dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{x}\right) \right)&= \ln\left(\dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{1}{x}\right)  +\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right) \right)^2-1}\right)\\
 &= \ln\left(\dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{1}{x}\right) +\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(x^2+2 +\dfrac{1}{x^2}\right)-1}\right)\\
 &= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\sqrt{\dfrac{x^4-2x^2+1}{4x^2}}\right)\\
 &= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\sqrt{\dfrac{(x^2-1)^2}{4x^2}}\right)\\
 &= \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)
\end{array}

Maintenant, on a

  • Si x \geq 1 , on a \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)= \ln \left ( \dfrac{x^2+1+x^2-1}{2x}\right) = \ln(x)
  • Si 0 < x < 1 , on a \ln\left( \dfrac{x^2+1}{2x} +\dfrac{|x^2-1|}{2|x|}\right)= \ln \left ( \dfrac{x^2+1-x^2+1}{2x}\right) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = - \ln(x)

En résumé, le résultat est f(x) = | \ln(x)|

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