Prérequis

Définition

La fonction racine est une fonction définie sur les réels positifs ou nuls. En voici sa définition. Pour tout x ≥ 0, il existe un unique y ≥ 0, tel que x = y2 ce nombre y est appelé racine de x.

Voici sa courbe représentative :

Racine carrée

Propriétés

La fonction racine est croissante sur son ensemble de dérivation.

On a la propriété suivante :

\begin{array}{l}\forall a,b\in\mathbb{R}_+,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\\
\forall a,b\ \in\mathbb{R}_+,\ \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\end{array}

Par contre on n’a pas, de manière générale :

\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}

Exemple :

\begin{array}{l}\sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 =2\\
\sqrt{1+1} = \sqrt{2} \approx 1,414 \neq 2 \end{array}

Par contre, on a les inégalités suivantes :

\begin{array}{l}\sqrt{a+b}\ \le\ \sqrt{a}\ +\ \sqrt{b}\\
\sqrt{a-b}\ \ge\ \left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|\end{array}

Lien avec la fonction carrée

On a les propriétés suivantes :

\begin{array}{l}\forall\ x\ \in\mathbb{R}_+,\ \left(\sqrt{x}\right)^2\ =\ x\\ \\
\forall\ x\ \in\mathbb{R},\ \sqrt{x^2}\ =\ \left|x\right|\end{array}

Résolution d’équations

En notant f la fonction racine, l’équation f(x) = a aura :

\begin{array}{l}1\ solution\ si\ a\ \ge\ 0\ :\ x\ =\ a^2\\
Pas\ de\ solution\ si\ a\ <0\end{array}

Résolution d’inéquations

On va maintenant chercher à résoudre f(x) ≥ a

\begin{array}{l}Si\ a\ <\ 0\ :\ La\ solution\ est\ \mathbb{R}_+\\
Si\ a\ \ge\ 0\ :\ La\ solution\ est\ x\ \ge\ a^{2\ }\end{array}

Résolvons maintenant f(x) ≤ a. Voici les solutions selon les valeurs de a.

\begin{array}{l}Si\ a\ <\ 0\ :\ L^{\prime}inéquation\ n^{\prime}a\ pas\ de\ solution\\
Si\ a\ \ge\ 0\ :\ La\ solution\ est\ 0\ \le\ x\ \le\ a^{2\ }\end{array}

Quelques valeurs

xracine carrée de x (à 3 chiffre significatifs près)
11
21,414
31,732
42
52,236
62,449
72,646
82,828
93
103,162

Exemple

Exemple 1
Résoudre l’équation suivante :

\sqrt{x} = x

On élève au carré de chaque côté :

\begin{array}{l}x^2\ =\ x\\
\Leftrightarrow\ x^{2\ }-\ x\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\left(x-1\right)\ =\ 0\\
\Leftrightarrow\ x\ =\ 0\ ou\ x\ =\ 1\ \end{array}

Exemple 2
Résoudre l’inéquation suivante :

\sqrt{x}\leq 2

On applique le cours pour obtenir :

0 \leq x \leq 4

Exemple 3
Enlever la racine au dénominateur :

\frac{2}{\sqrt{3}-1}

On multiplie au numérateur et au dénominateur par ce qu’on appelle la racine conjuguée :

\begin{array}{l}
\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}\ \\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ \\
=\ \dfrac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ \\
=\sqrt{3}+1\end{array}

Exercices

Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :

\begin{array}{l}3\sqrt{x}\ +\ 1\ =\ 7\ \\ \\
1\ -\ 4\sqrt{x}\ =\ 5\\ \\
\sqrt{5\ -\sqrt{3x}}=\ 2\end{array}

Exercice 2
Enlever les racines des dénominateurs (comme dans l’exemple 3)

\begin{array}{l}\left(a\right)\ \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ \\
\left(b\right)\ \dfrac{2}{\sqrt{x-1}+1}\\ \\
\left(c\right)\ \dfrac{4-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\end{array}

Exercice 3
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{array}{l}\sqrt{x}\le\ 25\\
\sqrt{x}\ \ge\ 81\\
\sqrt{x}\ >\ -2\\
\sqrt{x}\ \le\ 10^{-4}\end{array}

Exercice 4
Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sqrt{x-14}\\
f\left(x\right)=\sqrt{x^2+4}\\
f\left(x\right)=\sqrt{-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{7-x}\\
f\left(x\right)\ =\ \sqrt{\dfrac{3-x}{4-x}}\ \end{array}

Pour la dernière, on pourra s’inspirer des résultats sur la fonction inverse.

Exercice 5
Soit f la fonction définie par

f\left(x\right)\ =\ \sqrt{9-x^2}
  1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
  2. f est-elle paire ?
  3. Dresser le tableau de variation de f.
  4. Tracer la courbe D représentative de la fonction f
    5. (Nécessite une connaissance sur les fonctions du second degré) : On pose g(x) = -2x. Etudier la position relative entre la courbe représentative de f et celle de g.

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