La fractale : Définition

Cet article va être très visuel ! Voici la définition d’une fractale. Une fractale est un objet « infiniment morcelé » tel qu’en zoomant dessus on peut retrouver la figure. Ceci est vrai quel que soit le niveau de zoom. Bien que des phénomènes liés au fractale, on attribue la théorisation de cette notion à Benoit Mandelbrot.
Avec un peu de latin : La racine de ce mot vient de fractus qui signifie brisé, irrégulier.

Un peu de maths

La dimension d’une fractale, qui est un nombre non entier, se calcule comme suit :

d = \frac{\ln (n)}{\ln(h)}

Où n est le nombre d’exemplaires qu’on obtient qu’on on réduit la taille d’un facteur h et ln la fonction logarithme. La dimension n’est donc pas un entier. Si la fractale se dessine en dimension 2 dans un plan sa dimension en tant que fractale est comprise entre 1 et 2. Si elle est représentée dans une figure en dimension 3 (un cube par exemple), sa dimension en tant que fractale est comprise entre 2 et 3. Je donnerai des exemples plus loin.

Exemples de fractale

La fractale dans la nature

Et oui on peut les trouver dans la nature. Le chou de Romanesco en est un bon exemple. Comme vous pouvez le voir dans l’image ci-dessous, son motif se répète. Et si on zoome, on verra de nombreux petits choux de Romanesco.

Chou de Romanesco
Le chou de Romanesco

Il en est de même pour la fougère. En zoomant, on retrouve encore et encore le même motif.

Fougère
La fougère

Le flocon de Von Koch

Le flocon de Von Koch fait aussi partie des fractales les plus connues. Chaque triangle à l’intérieur du flocon se repète. Voici en image sa construction.

Flocon de Von Koch construction
Le flocon de Von Koch (source)

Et voici la répétition du motif :

Gif Flocon Koch
Répétition du motif du flocon de Koch (source)

Ensemble de Mandelbrot

Revenons donc à celui qui a théorisé les fractales, Mandelbrot. Voici donc, en image, l’ensemble de Mandelbrot

Mandelbrot

Certaines personnes s’amusent à zoomer le plus possible dans cet ensemble, en utilisant les ressources de l’informatique, exemple en vidéo :

Sierpinsky

Sierpinsky ou Sierpinski a inventé 2 fractales : le tapis sur l’image de gauche et le triangle sur l’image de droite.
Calculons leur dimension. Si on réduit par 3 la taille du carré, on obtient 8 fois le motif. Si on réduit par 2 la taille du triangle, on obtient 3 fois le motif. Leurs dimensions sont donc :

\begin{array}{l}
d_1 = \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \approx 1,893 \\ \\
d_2 = \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \approx 1,585
\end{array}
Tapis de Sierpinski
Le tapis de Sierpinsky (source)
Triangle de Sierpinski
Le triangle de Sierpinsky (source)

Et maintenant si on passe le tapis en 3D, on obtient l’éponge de Menger. Si on réduit d’un facteur 3 la taille du cube, on a 20 sous-cubes. Sa dimension est donc :

d = \frac{\ln(20)}{\ln(3)} \approx 2,73
Eponge de Menger
L’éponge de Menger (source)

Fractales et marchés financiers

En ouverture, on utilise par exemple les fractales pour modéliser les cours de bourse. Je vous conseille par exemple cet article si vous voulez en apprendre plus ! Je vous conseille aussi le livre une approche fractale des marchés.

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