Le but de cet article est de donner des règles permettant d’établir facilement de savoir si un nombre est divisible par un autre nombre.

Prérequis

Divisibilité par 2

Une des règles les plus simples. Il s’agit de savoir si le nombre est pair ou non. Pour ce faire, on regarde le dernier chiffre. Si celui-ci est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est divisible par 2.

Exemples :
42 est divisible par 2.
5464856645498 est divisible par 2 car il se termine par 8.
7568757757587568757 n’est pas divisible par 2 car il se termine par 7.

Divisibilité par 3

Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Exemples :
586465 : 5+8+6+4+6+5 = 34 qui n’est pas divisible par 3. Donc 586465 n’est pas divisible par 3.
426 : 4+2+6 = 12 qui est divisible par 3. Donc 426 est divisible par 3.
24567 : 4+2+5+6+7 = 27 qui est divisible par 3. Donc 24567 est divisible par 3.

Divisibilité par 4

Deux méthodes :

  • Un nombre est divisible par 4 si et seulement si ses 2 derniers chiffres le sont
  • Un nombre est divisible par 4 si et seulement si 2 x a1 + a0 est divisible par 4

Exemples :
5752576532 : Seuls les deux derniers chiffres nous intéressent : 32.
Méthode 1 : 32 est divisible par 4 donc 5752576532 est divisible par 4.
Méthode 2 : 3 x 2 + 2 = 8 qui est divisible par 4. Donc 5752576532 est divisible par 4.

2572778775 : Seuls les deux derniers chiffres nous intéressent : 75.
Méthode 1 : 75 n’est pas divisible par 4 donc 2572778775 n’est pas divisible par 4.
Méthode 2 : 7 x 2 +5 = 15 qui n’est pas divisible par 4. Donc 2572778775 n’est pas divisible par 4.

Divisibilité par une puissance de 2

Pour savoir si un nombre est divisible par 2n, la méthode est la suivante : ses n derniers chiffres doivent être divisibles par 2n

Où ak représente le k-ième chiffre en partant de la fin. Si 2n divise cette somme alors 2n divise le nombre.

Exemple 1
8 divise-t-il 757424568 ? 568 = 8 x 71. Donc 8 divise 757424568.

Exemple 2
4 est-il un diviseur de 27575408 ? Comme 4 est un diviseur de 08, 4 est bien un diviseur de 27575408.

Divisibilité par 5

Le même genre de critère que pour 2. C’est assez simple : Si le nombre se termine par 0 ou 5, alors celui-ci est divisible par 5.

Exemples :
125 est divisible par 5 car il se termine par 5.
1587574567275363 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.

Divisibilité par une puissance de 5

Pour savoir si un nombre est divisible par 5n, la méthode est la suivante : Ses n derniers doivent être divisibles par 5n

Où ak représente le k-ième chiffre en partant de la fin. Si 5n divise cette somme alors 5n divise le nombre.

Exemple 1
25 est-il un diviseur de 65456825 ? Comme 25 divise les deux derniers chiffres, c’est à dire 25, la réponse est oui.

Exemple 2
125 est-il un diviseur de 56828525 ? On prend les 3 derniers chiffres : 525. Comme 125 x 4 = 500, 525 ne peut pas être divisible par 125. Donc 125 n’est pas un diviseur de 56828525.

Divisibilité par 6

Ici c’est facile. Un nombre est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et 3. Ce qui signifie qu’il doit vérifier les 2 critères suivants :

  • Il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
  • La somme de ses chiffres est divisible par 3

Exemples :
546 se termine par 6 et 5+4+6 = 15 qui est divisible par 3. Donc 546 est divisible par 6
685 ne se termine pas par un nombre pair donc n’est pas divisible par 6.
788 : 7+8+8 = 23 qui n’est pas divisible par 3. Donc 788 n’est pas divisible par 6.

Divisibilité par 7

Méthode proposée par Clément Loup-Forest (il ne l’a pas inventée mais me l’a suggérée). On prend le nombre des dizaines, c’est à dire tous le chiffres des dizaines et tous les nombres avant dans l’écriture décimale. On lui ajoute – 2 * a0 où a0 est le chiffre des unités. Si le résultat est divisible par 7 alors le nombre de base était divisible par 7. On peut réitérer ce processus autant que nécessaire pour faire diminuer le nombre.

Exemple 1
13857 est-il divisible par 7 ?
1385 – 2×7 = 1371. Le nombre est trop grand encore, on réitère le procédé.
137 -2×1 = 135
13 – 2×5 = 3 n’est pas divisible par 7 Donc 13857 n’est pas divisible par 7.

Exemple 2
2695 est-il divisible par 7 ?
269 – 2×5 = 259
25 – 2×9 = 7 qui est divisible par 7. Donc 2695 est bien divisible par 7.

Variante de Chika Ofili, nigérian qui a découvert cette méthode à 12 ans. On prend le nombre des dizaines, c’est à dire tous le chiffres des dizaines et tous les nombres avant dans l’écriture décimale. On lui ajoute 5 * a0 où a0 est le chiffre des unités. Si le résultat est divisible par 7 alors le nombre de base était divisible par 7. On peut réitérer ce processus autant que nécessaire pour faire diminuer le nombre.

Exemple 1
13857 est-il divisible par 7 ?
1385 + 5×7 = 1420. Le nombre est trop grand encore, on réitère le procédé.
142 + 5×0 = 142
14 + 5×2 = 24 n’est pas divisible par 7 Donc 13857 n’est pas divisible par 7.

Exemple 2
2695 est-il divisible par 7 ?
269 + 5×5 = 294
29 + 5×4 = 49 qui est divisible par 7. Donc 2695 est bien divisible par 7.

Divisibilité par 9

C’est la même méthode que pour la divisibilité par 3. Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemples
46845 : 4+6+8+4+5 = 27. Comme 27 est divisible par 9, 46845 est divisible par 9.
588 : 5+8+8 = 21. 21 n’étant pas divisible par 9, 588 n’est pas divisible par 9.

Divisibilité par une puissance de 10

Pour vérifier qu’un nombre est divisible par 10n, il suffit de compter le nombre de zéros à la fin. S’il a au moins n zéros, alors il est divisible par 10n.

Exemples :
45674575757847580000 est divisible par 1 000 et même 10 000.
57587587675567867 n’est pas divisible par 10.

Divisibilité par 11

Pour savoir si un nombre est divisible par 11, on ajoute la suite alternée de ses chiffres, c’est à dire en changeant de signe chaque nombre. Le résultat doit être un multiple de 11.

Exemples :
123456789 : 1-2+3-4+5-6+7-8+9= 5 n’est pas divisible par 11.
1234321 : 1-2+3-4+3-2+1 = 0. 1234321 est divisible par 11.

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