Qu’est-ce qu’un palindrome ? Quelles sont les propriétés particulières les caractérisant ? Grâce à cet article, vous saurez tout sur les palindromes !
Définition du palindrome
Un palindrome est une suite de mots, de chiffres ou même de notes de musique dont l’ordre reste le même qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. Un des exemples les plus connus est Kayak.
Voici des listes de plusieurs exemples.
Avec des lettres et expressions
- Laval (ville Bretonne)
- Selles
- Gag
- Radar
- Stats
Avec des expressions
- Elu par cette crapule (si on enlève l’accent)
- Engage le jeu que je le gagne
- Ésope reste ici et se repose
- Tu l’as trop écrasé, César, ce Port-Salut. (Issu de Victor Hugo)
Et même en anglais :
Pull up if I pull up
Et du coup : Pull up
Avec des chiffres
Pour trouver des exemples avec des chiffres c’est facile :
- 1,2,3,4,5,6,7,8,9
- 11,101,1001,10000000000000000001,…
- 5555
- Le fameux 666
- 9999
Avec des heures
Voici la liste de toutes heures-minutes palindromiques :
- 00:00
- 01:10
- 02:20
- 03:30
- 04:40
- 05:50
- 10:01
- 11:11
- 12:21
- 13:31
- 14:41
- 15:51
- 20:02
- 21:12
- 22:22
- 23:32
On peut en trouver beaucoup plus si on se met en heure-minutes-secondes. Par exemple : 01:33:10
Mathématiques et palindrome
Les coefficients binomiaux
On retrouve des palindromes dans le triangle de Pascal dans les coefficients binomiaux : Chaque ligne est un palindrome. Voyez par vous même :
Cela est dû à la symétrie du binôme de Newton :
\binom{n}{k}\ =\ \binom{n}{n-k}Calculer le palindrome suivant
On prend une suite de chiffres qui est un palindrome. Quel est le palindrome suivant ? Pour faire ce calcul, on prend le chiffre du centre, ou s’il n’y a pas de centre, celui le plus au centre mais à gauche du nombre et on ajoute 1. On répercute le résultat sur les chiffres à gauche et à droite. Voici des exemples pour bien comprendre :
Exemple : 98589 est un palindrome. On prend le chiffre, on ajoute 1 et on répercute sur le reste si nécessaire. Ce n’est pas nécessaire ici. Le palindrome suivant est 98689.
Autre exemple : 19991 est un palindrome. On prend le chiffre du centre : 9 et on ajoute 1. 199 devient 200 (les 3 premiers chiffres). On équilibre pour bien avoir un palindrome : 20002 est donc le palindrome suivant.
1991 est un palindrome. On prend le chiffre du centre mais à gauche (on n’a pas de centre ici) et on ajoute 1 : 19 devient 20 puis on équilibre de l’autre côté : 2002 est le palindrome suivant.
Forme des palindromes
La propriété suivante est vraie. Tous les palindromes sont des sommes de multiples de
10^{2k+1}+1Exemples :
\begin{array}{l}1991\ =181\ \times\left(10^1+1\right)\ \\ \\
100001\ =\ 10^5+1\end{array}Nombre de palindromes
| Intervalle | Nombre de palindromes |
| 0-9 | 10 |
| 0-99 | 19 |
| 0-999 | 109 |
| 0-9999 | 199 |
| 0-99999 | 1099 |
| 0-999999 | 1999 |
| 0-9999999 | 10999 |
| 0-99999999 | 19999 |
| 0-999999999 | 109999 |
Je crois que vous l’avez compris, si vous avez bien lu ces nombres. Il y a un pattern sur le nombre de palindromes en fonction des dizaines étudiées.
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