Qu’est-ce qu’un palindrome ? Quelles sont les propriétés particulières les caractérisant ? Grâce à cet article, vous saurez tout sur les palindromes !

Définition du palindrome

Un palindrome est une suite de mots, de chiffres ou même de notes de musique dont l’ordre reste le même qu’on le lise de gauche à droite ou de droite à gauche. Un des exemples les plus connus est Kayak.

Voici des listes de plusieurs exemples.

Avec des lettres et expressions

  • Laval (ville Bretonne)
  • Selles
  • Gag
  • Radar
  • Stats

Avec des expressions

  • Elu par cette crapule (si on enlève l’accent)
  • Engage le jeu que je le gagne
  • Ésope reste ici et se repose
  • Tu l’as trop écrasé, César, ce Port-Salut. (Issu de Victor Hugo)

Et même en anglais :
Pull up if I pull up
Et du coup : Pull up

Avec des chiffres

Pour trouver des exemples avec des chiffres c’est facile :

  • 1,2,3,4,5,6,7,8,9
  • 11,101,1001,10000000000000000001,…
  • 5555
  • Le fameux 666
  • 9999

Avec des heures

Voici la liste de toutes heures-minutes palindromiques :

  • 00:00
  • 01:10
  • 02:20
  • 03:30
  • 04:40
  • 05:50
  • 10:01
  • 11:11
  • 12:21
  • 13:31
  • 14:41
  • 15:51
  • 20:02
  • 21:12
  • 22:22
  • 23:32

On peut en trouver beaucoup plus si on se met en heure-minutes-secondes. Par exemple : 01:33:10

Mathématiques et palindrome

Les coefficients binomiaux

On retrouve des palindromes dans le triangle de Pascal dans les coefficients binomiaux : Chaque ligne est un palindrome. Voyez par vous même :

Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal

Cela est dû à la symétrie du binôme de Newton :

\binom{n}{k}\ =\ \binom{n}{n-k}

Calculer le palindrome suivant

On prend une suite de chiffres qui est un palindrome. Quel est le palindrome suivant ? Pour faire ce calcul, on prend le chiffre du centre, ou s’il n’y a pas de centre, celui le plus au centre mais à gauche du nombre et on ajoute 1. On répercute le résultat sur les chiffres à gauche et à droite. Voici des exemples pour bien comprendre :

Exemple : 98589 est un palindrome. On prend le chiffre, on ajoute 1 et on répercute sur le reste si nécessaire. Ce n’est pas nécessaire ici. Le palindrome suivant est 98689.

Autre exemple : 19991 est un palindrome. On prend le chiffre du centre : 9 et on ajoute 1. 199 devient 200 (les 3 premiers chiffres). On équilibre pour bien avoir un palindrome : 20002 est donc le palindrome suivant.
1991 est un palindrome. On prend le chiffre du centre mais à gauche (on n’a pas de centre ici) et on ajoute 1 : 19 devient 20 puis on équilibre de l’autre côté : 2002 est le palindrome suivant.

Forme des palindromes

La propriété suivante est vraie. Tous les palindromes sont des sommes de multiples de

10^{2k+1}+1

Exemples :

\begin{array}{l}1991\ =181\ \times\left(10^1+1\right)\ \\ \\
100001\ =\ 10^5+1\end{array}

Nombre de palindromes

IntervalleNombre de palindromes
0-910
0-9919
0-999109
0-9999199
0-999991099
0-9999991999
0-999999910999
0-9999999919999
0-999999999109999
Nombre de palindromes

Je crois que vous l’avez compris, si vous avez bien lu ces nombres. Il y a un pattern sur le nombre de palindromes en fonction des dizaines étudiées.

Cet article vous a plu ? Découvrez nos articles sur le même thème :

Laisser un commentaire