Définition

Définition intuitive

La dérivée en un point correspond à la pente de la fonction en ce point.
Exemple : Soit la fonction définie sur ℝ, par f(x) = 2x. Alors sa pente vaut 2 en tout point

2x
f(x) = 2x

Définition mathématique

f est dite dérivable en un point a de son ensemble de définition si

\lim _{x\to a}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}

existe. Cette limite est notée f'(a). On dit que f est dérivable en a. f'(a) est appelé nombre dérivée.
Exemple : Calculons la limite en a = 1 de x-> x2

\begin{array}{l}\lim_{x\to1}\ \frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ \\
=\lim_{x\to1}\ \frac{x^2-1}{x-1}\\ \\
=\ \lim_{x\to1}\ \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}\\ \\
=\ \lim_{x\to1}\ x+1\ =\ 2\end{array}

Ainsi, la dérivée en 1 de la fonction carré est 2.

Si une fonction admet une dérivée en tout point, on dit qu’elle est dérivable.

Définition de la tangente

La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » ce point et a pour pente la dérivée en ce point.
Une formule permet de l’obtenir :

y = f'(a) (x-a) + f(a)

Le coefficient directeur de la tangente est f'(a)
Son ordonnée à l’origine est f(a) – a f'(a) (on prend x = 0 dans l’équation ci-dessus)

Exemple :
Reprenons l’exemple de tout à l’heure : f(x) = x2 et a = 1
On sait que f'(1) = 2 et f(1) = 1
En reprenant la formule de la tangente on obtient

\begin{array}{l}y\ =\ f^{\prime}\left(1\right)\ \left(x-1\right)\ +\ f\left(1\right)\\
y\ =\ 2\ \times\ \left(x-1\right)\ +\ 1\\
y\ =\ 2\left(x-1\right)\ +\ 1\\
y\ =\ 2x\ -1\end{array}

Graphiquement, voici le résultat :

Tangente fonction carrée
f(x) = x2 avec sa tangente au point 1

La dérivation : résumé

  • Si f possède une dérivée en un point a, on note le résultat f'(a). Ce résultat est appelé nombre dérivé.
  • Si f possède un nombre dérivé en tout point de son intervalle de définition (respectivement sur un intervalle), f est dite dérivable sur son intervalle de définition (respectivement sur son intervalle). On note sa dérivée f’.
  • La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » ce point et a pour pente la dérivée en ce point. Elle sa calcule via y = f'(a) (x-a) + f(a).

Propriétés

La dérivée a diverses propriétés :
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Soit C une constante

\begin{array}{l}Additivité\ :\ \left(u+v\right)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\\ \\
Multiplication\ par\ une\ constan te\ :\ \left(Cu\right)^{\prime}\ =C\ u^{\prime}\\ \\
Multiplication\ :\ \left(uv\right)^{\prime}\ =\ u^{\prime}\ v\ +\ uv^{\prime}\\ \\
Division\ :\ \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}\ =\ -\frac{u^{\prime}}{u^2}\\ \\
Fraction\ :\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}\ =\ \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2} \\ \\
Composition \ : \  (u \circ v)' = v' \times (u'\circ v) \end{array}

Dérivées usuelles

Voici la liste des dérivées à connaître :

 \begin{array}{| c | c | } \hline
    Fonction & Dérivée  \\ \hline \hline \\
     1  &0  \\  \\\hline   \\
x & 1 \\ \\ \hline \\
x^2&2x \\ \\ \hline   \\
x^n, n \in \N & nx^{n-1}  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x}& -\frac{1}{x^2}  \\ \\ \hline   \\
\frac{1}{x^n}, n\in \N&-\frac{n}{x^{n+1}} \\ \\ \hline   \\
\sqrt{x} &\frac{1}{2\sqrt{x}}  \\ \\ \hline  \\
Généralisation \ : \ x^{\alpha}, \alpha \in \R &\alpha x^{\alpha - 1} \\ \\ \hline 
   \end{array}

Exemples

Exemple 1
Calculer la dérivée de f définie par f(x) = x2 + x. Calculer sa dérivée.
La dérivée de x2 est 2x.
La dérivée de x est 1.
En utilisant l’additivité de la dérivée, on obtient

f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 1

Exemple 2
Calculer la dérivée de f(x) = x2 / (2x+1)

\begin{array}{l}On\ pose\ :\ u(x)=x^2,\ v\left(x\right)\ =\ 2x+1\\
On\ a\ :\ u^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x,\ v^{\prime}\left(x\right)\ =2\\
On\ a\ donc,\ en\ utilisant\ \left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}\ =\ \frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{2x\left(2x+1\right)-x^2\times2}{\left(2x+1\right)^2}\\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{4x^2+2x-2x^2}{\left(2x+1\right)}\\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{2x^2+2x}{2x+1}\\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x\frac{x+1}{2x+1}\end{array}

Exemple 3
Calculer la tangente au point 2 de la fonction f définie par f(x) = x2 + 3x + 4.
Calculons d’abord f'(x).

f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2x\ +\ 3

Puis f'(2) = 2×2 + 3 = 7
On a aussi f(2) = 22 + 3×2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14
On utilise ensuite la formule de la tangente :

\begin{array}{l}y=f^{\prime}(2)\times\left(x-2\right)\ +\ f\left(2\right)\\
y\ =\ 7\ \times\left(x-2\right)\ +\ 14\ \\
y\ =\ 7x\ -\ 14\ +\ 14\\
y\ =\ 7x\end{array}

La tangente est donc définie par l’équation y = 7x

Exemple 4
Calculer la dérivée de la fonction f suivante

f\left(x\right)\ =\ \sqrt{2x\ -\ 3}

La correction est la suivante :

\begin{array}{l}f\ est\ de\ la\ forme\ u\ \circ\ v\ avec\ \\
u\left(x\right)\ \ =\ \sqrt{x\ }\ et\ v\left(x\right)\ =\ 2x-3\\ \\
On\ a\ :\\ 
u^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{1}{2\sqrt{x}}\ et\ v^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2\\ \\
La\ dérivée\ est\ de\ la\ forme\ v^{\prime}\ \times\left(u^{\prime}\circ v\right)\\ \\
Donc\ f^{\prime}\left(x\right)\ =\ 2\ \times\frac{1}{2\sqrt{2x-3}}\\ \\
f^{\prime}\left(x\right)\ =\ \frac{1}{\sqrt{2x-3}}\end{array}

Exercices

Exercice 1
Déterminer f'(x) pour les fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\ =\ \left(5x+6\right)\left(7x+10\right)\\ \\
f_2\left(x\right)\ =\ \frac{4x-5}{2x+1}\\ \\
f_3\left(x\right)\ =\ \frac{\sqrt{x}}{4x-3}\\ \\
f_4\left(x\right)\ =\ \frac{x-6}{x^2+8x-4}\end{array}

Exercice 2
Encore des calculs de dérivée : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\ =\ x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ \\
f_2\left(x\right)\ =\ \left(x^4-1\right)\sqrt{x}\\ \\
f_3\left(x\right)\ =\ \frac{5}{x-3}\\ \\
f_4\left(x\right)\ =\ 3\sqrt{x}-\frac{4}{x}\\ \\
f_5\left(x \right) = (2x+3)^2\end{array}

Exercice 3
Soit f la fonction définie par f(x) = 3x4-2x+1. Soit Cf la courbe représentative de f.
1) Ecrire l’équation de la tangente au point x = -1 et x = 1
2) Les tangentes en -1 et 1 sont-elles parallèles ?

Exercice 4
Soit f définie par

f\left(x\right)\ =\ \frac{-x^2+2x-1}{x}

On note C sa courbe représentative
1) Déterminer les abscisses de la courbe C pour lesquels la tangente est horizontale
2) Existe-t-il des points pour lesquels la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

Exercice 5
Et pour finir, quelques dérivées complexes à calculer

\begin{array}{l}f_1\left(x\right)\ =\ \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ \\
f_2\left(x\right)\ =\ \frac{5\ \sqrt{x}}{1+\frac{2}{x}}\\ \\
f_3\left(x\right)\ =\ \frac{x^2+\frac{4}{x}}{x^2+\frac{x}{4}}\\ \\
f_4\left(x\right)\ =\ \left(x+\frac{3}{x^3}\right)x^2\end{array}

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