En l’honneur du #piday (car le 3/14 en format date américaine) voici un nouvel article rendant hommage au mystérieux et incontournable nombre Pi ! Du collège à l’enseignement supérieur, ce symbole nous suit à la trace en maths et en sciences. Il fait également l’objet d’intrigues dans le cinéma, la littérature ou encore la musique. Il existe même dans le livre Guinness des records et ça, c’est la classe !

Fun facts et autres mystères autour de Pi

D’abord, Pi, c’est sans doute le nombre mathématiques le plus connu de tous. A priori, e (de exp, si vous ne savez plus, piqûre de rappel ici) ça vous parle sans doute moins, phi, le nombre d’or, encore moins, et i au carré sans doute pas ou plus. Bon, si vous savez tout ça, c’est que vous faîtes sans doute partie de ceux qui font ou ont fait pas mal de maths. Mais ce n’est pas le sujet ici.

Fact#1 Quelle est la longueur de Pi ?

Une approximation de Pi, grâce à une calculatrice en ligne (en voici quelques unes gratuites ici), c’est 3,14159265359. On l’abrège souvent à l’oral en 3,14. Vous resituez pourquoi Pi Day est le 14 mars au cas où vous ne l’auriez pas eu au premier coup d’oeil 😉 ?
Bon du coup, on compte déjà 11 décimales (chiffres après la virgule) de Pi. Combien y en a-t-il au juste ?

Indice : le dernier record est d’exactement 31 415 926 535 897 décimales, soit environ 31 000 milliards ! Ce record est obtenu par le calcul sur Compute Engine, solution Cloud de Google, grâce à Emma Haruka Iwao, une ingénieure japonaise employée de Google.

Réponse : on ne sait pas. Sa longueur semble être infinie. En effet, Pi est un nombre irrationnel ! Cela signifie qu’il n’est pas possible d’écrire pi algébriquement sous la forme d’une fraction de nombres entiers.
Rappel, définition de la rationalité :

\begin{array}{l}Soit\ n\ un\ nombre\ rationnel,\ et\ p\ et\ q\ deux\ nombres\ entiers\ \left(sans\ virgule\right)\ alors\ :\\
n\ =\ \frac{p}{q}\end{array}
Il\ n^{\prime}existe\ donc\ pas\ de\ fraction\ de\ nombres\ entiers\ telle\ que\ :\ \pi \ =\ \frac{p}{q}

De plus, Pi ne semble contenir aucun pattern répétitif dans ses décimales. Un pattern étant une suite de décimales récurrentes, id est qui reviennent régulièrement dans la suite totale.

Fact#2 Réciter Pi, un Guinness des Records à part entière

Pour de nombreuses personnes, Pi est fascinant, au point que certains se sont amusés à en apprendre par cœur ses décimales. Un bon premier moyen, c’est d’avoir une tasse Pi à la maison, comme on peut en trouver à la Cité des Sciences à Paris – La Villette :

Mug pi
Mug Pi, cadeau idéal pour un mathématicien/matheux en herbe (on a d’autres idées de ce genre ici)

Il existe des livres et de nombreux sites internet sur lesquels on peut lire et apprendre les décimales de pi, comme sur gecif.net par exemple. Donc, des gens se sont amusés à les mémoriser et à les réciter !

Un grand stand-uper et youtuber français en la matière est Fabien Olicard qui connaîtrait plusieurs milliers de décimales de pi ! Vous pouvez voir une séquence d’un de ses spectacles humoristes ci-dessous. Il y fait la promotion de la mémorisation et se prête à l’exercice de récitation de Pi, d’une manière étonnante et inattendue.

Les records officiels de récitation de Pi inscrits au Guinness sont détenus en 2005 par le chinois Lu Chao, qui récite 67 890 décimales en 24 heures et 4 minutes. Puis en mars 2015, le record passe à 70 000 décimales récitées en 9 heures 27 minutes par l’indien Rajveer Meena. Puis en octobre 2015 à un autre indien Suresh Kumar Sharma qui récita 70 030 décimales en 17 heures et 14 minutes.

Fact#3 Un lac au nom de Pi

Il existe un Lac au Canada du simple nom de « Lac 3.1416 » où 3.1416 correspond exactement aux 4 premières décimales de pi arrondies à l’unité près. Selon la commission de toponymie du Canada (ceux qui distribuent les noms des rues, des forêts, des villes, etc…), le nom fait référence à trois villégiateurs qui possédaient un camp dont les dimensions sont de 14 pieds (4,26 m) de large par 16 pieds (4,9 m) de long.

Lac pi
Lac 3.1416 de coordonnées 49° 45′ 07″ nord, 68° 06′ 48″ ouest

Fact#4 Pi dans la culture

Le film Pi

Pi est un film thriller psychologique sorti en 1998. Ce film relate l’histoire d’un jeune mathématicien qui pense que « La nature est un livre écrit en langage mathématique », ceci étant une référence directe à Galilée, extrait de l’Essayeur, publié en 1623. Dans le film, s’entremêle religion, argent, bourse et obsessions mathématiques. Le protagoniste découvrirait ainsi dans les décimales le véritable nom de Dieu ou comment devenir riche avec les marchés boursiers. On vous déconseille de faire pareil, mais pour devenir riche avec des maths niveau lycée, vous pouvez regarder par ici.

Pi dans un roman

Dans le roman de pure fiction Contact de Carl Sagan paru en 1985, on découvre Ellie Arroway, une jeune astronome convaincue de l’existence d’une vie extraterrestre intelligente. Au sein de son laboratoire, un jour, les ordinateurs captent un message rationnel émis non pas depuis la Terre mais depuis Véga, une étoile située à environ 25 années-lumière. Ellie se lance alors à cœur perdu dans son décryptage, où Pi est amené à jouer un rôle déterminant.

Pi : une musique !

L’auteure-compositrice-interprète Kate Bush, d’influence rock, rock progressif, rock alternatif a dédié une musique à Pi dans son album Aerial de 2005. Le titre est tout simplement Pi. Le morceau est principalement composé des décimales de Pi en décrivant l’obsession d’un homme pour le nombre ¨Pi. Il aurait été inspiré par Daniel Tammet, un poète et hyperpolyglotte anglais qui a récité 22 514 décimales de Pi en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes en mars 2004.

Fact#5 Pi le logo de Progresser-en-maths.com

Et oui ! Pi est aussi dans notre logo. Nous avons décidé de prendre pi comme emblème, car c’est connu du grand public et nous visons à populariser les maths. Nous avons aussi choisi Pi car, comme vous le verrez plus loin, c’est un objet qui demeure un grand mystère pour les mathématiciens. Notamment parce qu’il est connu depuis très longtemps et que ses propriétés posent un problème définitivement insoluble, un comble même : la quadrature du cercle.

progresser en maths
Progresser en Maths

Histoire et utilité de Pi

Pi est presque né en même temps que les mathématiques. En effet, le début de la géométrie impliquant le tracé de cercles a fait rapidement intervenir l’objet Pi. Ceci afin de comprendre les proportions et les lois régissant les figures.

Commençons par une petite animation pour comprendre la rapport entre Pi et le rayon ou le diamètre d’un cercle.

File:Pi-unrolled-720.gif - Wikipedia

Babylone et Pi

Les premiers à chercher un rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre sont les babyloniens. De même que la recherche du rapport entre le carré du rayon et l’aire du disque leur est aussi associée. On a déjà en 2000 avant J.-C., l’approximation suivante :

\pi \ =\ 3\ +\ \frac{1}{8}\ =3,125

Pas mal ! Quoique la méthode un peu complexe si vous cliquer sur le lien de référence.

Pi en Egypte antique, pour les pyramides

Toujours vers 2000 avant J.-C., le papyrus Rhind provenant du scribe égyptien Ahmès propose une autre méthode pour évaluer Pi. Son idée est simple, calculer l’aire d’un disque de rayon 1, en l’inscrivant dans un carré de côté 2 :

encadrement supérieur pi

Naturellement l’aire du carré est :

Aire_{carré}\ =\ c\ \cdot \ c\ =2\ \cdot 2\ =\ 4

Ahmès dit donc que l’aire du cercle est plus petite et vaut quelque chose (Pi) multiplié par le rayon au carré. Il tente alors une quadrature du cercle. Cela consiste à obtenir un carré d’aire égale à un disque. C’est donc toujours aujourd’hui un problème non résolu. Donc Ahmès semble trouver de manière itérative que l’aire d’un disque de diamètre 9 unités est sensiblement égal à l’aire d’un carré de 8 unités de côté. Cette approximation se traduit par cette égalité : 

\begin{array}{c}Aire_{carré}\ =\ c\ \cdot \ c\ =8\ \cdot 8\ =\ 8^{2}\\
Aire_{cercle}\ =\ \pi \ \cdot \left(\frac{diamètre}{2}\right)^{2}\ =\ \pi \ \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^{2}\\
Or\ Aire_{carré}\ =\ Aire_{cercle}\ \\
Donc\ \pi \ \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^{2}\ =\ 8^{2\ }\\
Soit\ \pi \ =\ \frac{8^{2}}{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}\ =\frac{256}{81}\\
Ainsi\ \pi \ \approx 3,16\end{array}

Pour réviser les formules, sur les aires, c’est ici

Pi en Inde, pour l’astronomie

L’étude des astres conduit les indiens à trouver une remarquable approximation. L’indien Aryabhata donne, au début du VIe siècle apr. J.-C., une approximation plus précise avec la fraction suivante : 62 832/20 000 ≈ 3,1416. Le résultat est exact à 10−5 près. Sur wikipédia, il semble qu’il n’y ait pas de justification de ce résultat. De plus, Aryabhata privilégierait l’utilisation de racine de 10 (environ égal à 3,1623) dans ses calculs astronomiques.

Pi dans l’antiquité Grecque

Archimède (287 à 212 av. J.-C.), un mathématicien et physicien de l’Antiquité Grecque, à qui l’on doit la Poussée d’Archimède est un acteur majeur dans la compréhension de Pi. Dans son traité De la mesure du cercle, Archimède utilise plusieurs astuces de géométrie afin de fournir un encadrement de la valeur de Pi et c’est assez cool. Pour cela, il inscrit un cercle dans un carré, et un polygone régulier dans le cercle.

Pour faire simple, nous allons prendre un hexagone. C’est un polygone régulier de 6 côtés. Archimède utilisera un polygone régulier de 96 côtés pour plus de précision. Cette idée vient du fait que l’on peut essayer de découper en triangle un cercle, comme ceci :

Découpage d’un cercle en 8 portions, r est le rayon, p est le nombre de portions.

Encadrer par le périmètre

Reprenons la première figure utilisée et inscrivons un hexagone dedans.

Encadrement pi
Cercle inscrit dans carré de côté 2 et hexagone inscrit dans le cercle de rayon 1. Approximation de Pi par la méthode d’Archimède

Remarquons que le périmètre du carré est 2 * 4 = 8. Le périmètre étant la ligne qui délimite le contour d’une figure. Donc pour le carré la longueur du côté (2) fois le nombre de côtés (4). Remarquons que celui de l’hexagone est 6. En effet, si on découpe l’hexagone en triangles comme sur la figure, ceux-ci sont isocèles de longueur 1. Il y a 6 côtés, donc 6 * 1 = 6.

On donc un premier encadrement donné par :

\begin{array}{l}Périmètre\ carré\ >\ Périmètre\ cercle\ >\ Périmètre\ hexagone\ \\
8\ >\ \pi \ \cdot 2\cdot rayon\ >\ 6\ \\
\Leftrightarrow \ \frac{8}{2}\ >\ \pi \cdot rayon\ >\ \frac{6}{2}\\
Or\ rayon\ =\ 1\\
\Leftrightarrow \ 4\ >\ \pi \ >\ 3\end{array}

Encadrer par le calcul de l’aire

On reprend les remarques du scribe Ahmès. En s’appuyant à nouveau sur le schéma juste avant, on retrouve que l’aire du carré côté x côté = 2 x 2 = 4. Pour le calcul de l’aire de l’hexagone c’est simple aussi. On calcule l’aire d’un des triangle de l’hexagone que l’on multiplie ensuite par le nombre de triangles, soit 6.

\begin{array}{l}Aire\ d^{\prime}un\ \triangle \ :\ \frac{Base\ \cdot \ Hauteur}{2}\end{array}

Découpons alors un de nos triangles pour trouver la base, comme ceci.

Estimation de pi

On a l’hypoténuse = 1 par définition et le côté court = 1/2 = 0,5. Pour trouver la longueur du côté long qui sera notre base on utilise le théorème de Pythagore (voici un rappel ici).

\begin{array}{l}&1^{2}=0,5^{^2}+x^{2}\\
\Leftrightarrow &1^{2}-0,5^{^2}\ =x^{2}\\
\Leftrightarrow &x^{2}=\left(1-0,5\right)\cdot \left(1+0,5\right)\\
\Leftrightarrow &x^{2}\ =0,5\cdot 1,5\\
\Leftrightarrow &x\ =\ \sqrt{\frac{3}{4}}\\
&\end{array}

Donc notre base est racine de trois quarts. Et l’aire de notre triangle équilatéral isocèle est :

\begin{array}{l}Aire_{triangle}\ =\ \frac{\left(1\cdot \sqrt{\frac{3}{4}}\right)}{2}\\
\\
Aire_{triangle}\ =\ \frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{2}\\
\\
Aire_{triangle}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\cdot \frac{1}{2}\\
\\
Aire_{triangle}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
\\
Aire_{triangle}\ =\ \frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}

Donc pour finir, voici l’aire de notre hexagone.

\begin{array}{l}Aire_{hexagone}\ =\ 6\cdot \ \frac{\sqrt{3}}{4}\\ \\
Aire_{hexagone}\ =\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\\  \\
Aire_{hexagone}\ \ \approx \ 2,5981\end{array}

L’encadrement par l’aire de pi devient :

\begin{array}{l}Aire_{carré}\ >\ Aire_{cercle}\ >Aire_{hexagone}\\
c\cdot c\ >\ \pi \ \cdot \ rayon^{2}\ >6\cdot c\cdot \frac{\left(base\cdot hauteur\right)}{2}\\
4\ >\pi \ \cdot \ rayon^{2}\ >\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\\
Or\ rayon\ =\ 1\ et\ 1^{2}=1\\
Donc\ 4\ >\pi \ >\ \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{array}

Archimède donne cet encadrement de Pi :

\begin{array}{l}3+\frac{10}{71}\ <\ \pi \ <\ 3+\frac{10}{70}\\ \\
Avec\ 3+\frac{10}{71}\ \approx 3,1408\\ \\
Et\ \ \ \ \ 3+\frac{10}{70}\ \approx 3,1429\end{array}

Pourquoi Pi s’appelle Pi au juste ?

D’après Wikipédia : la lettre grecque « π » est la première du mot grec περιφέρεια (périphérie, c’est-à-dire circonférence). Elle symbolise donc le rapport du cercle à son diamètre à partir du XVIIIe sicèle.

« Le premier à utiliser simplement π est William Jones dans son livre Synopsis palmariorum mathesios publié en 1706, à propos du calcul astucieux de ce nombre par la série de son ami John Machin. Les mathématiciens continuent cependant d’utiliser d’autres notations. Parmi ceux-ci Euler se met à la notation de Jones dans sa correspondance à partir de 1736. Il l’adopte dans son livre Introductio in analysin infinitorum publié en 1748, ce qui eut certainement une grande influence. La notation finit par s’imposer vers la fin du XVIIIe siècle ».

En effet, Pi était aussi utilisé en référence au diamètre et donc sa valeur était doublée. Les mathématiciens écrivait parfois π/δ où δ désigne le diamètre.

Pi depuis les années 1900 et l’informatique

L’accent a été mis sur le fait de calculer le plus de décimales de Pi possibles. D’un problème de mathématique, Pi est devenue un problème informatique. Comment, en utilisant les ressources disponibles, calculer le plus de décimales de Pi ?
3 solutions :

  • Augmenter les ressources disponibles. Mais ce n’est pas toujours possible. Et si on veut doubler les ressources, il va falloir doubler le prix.
  • Utiliser des formules qui convergent plus rapidement.
  • Le temps est un facteur doublement important : Plus on fait tourner l’algorithme longtemps, plus on pourra calculer de décimales de Pi. Et aussi si on attend des années, sans faire tourner l’algorithme, alors la loi de Moore intervient. Et donc pour le même prix, on aura accès à beaucoup plus de ressources.

Pour la plupart des usages, 355/113 donne une approximation de Pi avec 7 chiffres après la virgule, est largement suffisant. Mais le fait de vouloir calculer le plus de décimales possibles de Pi a une double utilité. D’une part, c’est nécessaire pour avoir une plus grande précision dans les calculs. D’autre part, c’est aussi un indicateur de progression technologique. Plus on est capable de calculer de décimales de Pi, plus on est avancés technologiquement.

Bonus : L’élégance de Pi dans des formules de maths

Pour la beauté des maths, voici une liste de formules ayant pour résultat π.

Avec la formule de l’arctangente

\pi = 4 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} 

Issue des séries de Fourier

\begin{array}{l}\pi\ =\ \sqrt{6\ \sum_{n=1}^{+\ \infty}\frac{1}{n^2}}\end{array}
\begin{array}{l}\pi \ =\ \sqrt[4]{90\ \sum _{n=1}^{+\ \infty }\frac{1}{n^4}}\end{array}

Grâce aux formules de Ramanujan

\pi\ =\frac{9801}{2\sqrt{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\left(4k\right)!\left(1103+26390k\right)}{\left(k!\right)^4369^{4k}}}\ 

Les formules de Machin

\pi\ =\ 16\ \arctan\left(\frac{1}{5}\right)\ -\ 4\ \arctan\left(\frac{1}{239}\right)

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