C’est un bon sujet utilisable pour le grand oral. Comment modéliser l’évolution d’une population ? Ces 2 modèles permettent de modéliser la population. L’un, de la fin du XVIIIème siècle est trop simpliste et donc Verhulst au XIXème siècle vient proposer un modèle un peu plus fin
Un peu d’histoire
En 1798, Thomas Malthus un économiste britannique publie un essai qui prédit qu’une population croit indéfiniment de manière exponentielle. Il peut s’agir d’une population de lapins, de plantes, de bactéries et bien d’autres.
En réponse à ce modèle, Pierre François Verhulst propose en 1840 un nouveau modèle de croissance ou l’évolution d’une population suit une courbe logistique. Tout deux utilisent des équations différentielles.
Voici la problèmatique proposée
Comment utiliser les équations différentielles pour modéliser l’évolution d’une population ?
On répondra à cette problématique en abordant dans un premier temps le modèle de Malthus puis dans un second temps le modèle de Verhulst.
Le modèle de Malthus
Dans le modèle de Malthus on cherche les fonction P(t) définies et positives sur l’intervalle [0 ;+\infty] vérifiant comme équation différentielle l’équation différentielle suivante :
P'(t) = a P(t)
L’idée est la suivante : plus la population est grande, plus elle peut se reproduire et donc augmente de plus en plus vite, c’est-à-dire un taux d’accroissement de plus en plus fort.
C’est une équation différentielle de type y’=ay , ainsi les solutions de cette équation sont de la forme :
P(t) = Ke^{at}Néanmoins ce modèle a des limites. En effet il n’est applicable que lorsque la population n’admet pas de prédateur, peut se développer sans contrainte ou sur une courte période. On parle alors « d’explosions démographique ». Pierre François Verhulst fut le premier à proposer un modèle de restriction de la population (modèle logistique) qui tient compte des ressources limitée ou encore de la présence de possible prédateur par exemple.
Le modèle de Verhulst
Le modèle proposé par Pierre-François Verhulst est le suivant :
P' = rP \left( 1 -\dfrac{P}{K}\right)Avec
- P la fonction modélisant l’évolution de notre population
- K est ce qu’on appelle la capacité d’accueil
- r le taux de croissance de la population
Dans ce modèle on cherche les fonctions représentant l’évolution d’une population, qui sont définies et positives sur l’intervalle [0 ;+\infty] et qui vérifie notre équation logistique.
Au programme de terminale on a appris à résoudre des équations différentielles du type :
y’=ay ou y’=ay+b ou encore y’=ay+v avec- y une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞]
- y’ sa dérivée
- a et b des constantes
- v une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+\infty]
Ici résoudre cette équation s’avère plus compliquée, donc nous allons admettre qu’une solution à cette équation est :
P(t) = \dfrac{K}{1+e^{-r(x-a)}}avec a un réel dépendant des conditions initiales.
Vérification du résultat
Nous pouvons tout de même vérifier ce résultat. Pour cela nous devons dériver la fonction en tant que produit. On a :
P'(t) =K\dfrac{re^{-r(x-a)}}{\left(1+\frac{K-y_0}{y_0}e^{-r(x-a)}\right)^2}Et d’autre part,
\begin{array}{ll}
rP(t) \left( 1 -\dfrac{P(t)}{K}\right) &=r \dfrac{K}{1+e^{-r(x-a)}}\left(1- \dfrac{1}{1+e^{-r(x-a)}}\right)\\
&=r \dfrac{K}{1+e^{-r(x-a)}}\left( \dfrac{e^{-r(x-a)}}{1+\frac{K-y_0}{y_0}e^{-r(x-a)}}\right)\\
&=r K\dfrac{e^{-r(x-a)}}{(1+e^{-r(x-a)})^2}\\
&=P'(t)\\
\end{array}Etude de la convexité
En regardant l’expression de P', on obtient que la population est croissante.
Si on regarde la dérivée seconde, on obtient
\begin{array}{ll}
P''(t) &= r K\dfrac{-re^{-r(x-a)}(1+e^{-r(x-a)})^2-e^{-r(x-a)}(-2e^{-r(x-a)})(1+e^{-r(x-a)})}{(1+e^{-r(x-a)})^4}\\
&= r K\dfrac{-re^{-r(x-a)}(1+e^{-r(x-a)})-e^{-r(x-a)}(-2re^{-r(x-a)})}{(1+e^{-r(x-a)})^3}\\
&= r K\dfrac{-re^{-r(x-a)}(1+e^{-r(x-a)}-2e^{-r(x-a)})}{(1+e^{-r(x-a)})^3}\\
&= r^2 K\dfrac{e^{-r(x-a)}(-1+e^{-r(x-a)})}{(1+e^{-r(x-a)})^3}\\
\end{array}La dérivée seconde est donc positive si et seulement si :
\begin{array}{ll}
&-1+e^{-r(x-a)} > 0 \\
\iff & e^{-r(x-a)} > 1\\
\iff& -r(x-a) > 0 \\
\iff & x-a < 0 \\
\iff & x < a
\end{array}
On trouve que P est positive sur l’intervalle [0 ;a] puis négative sur l’intervalle [a ;+\infty]. Ainsi, P admet un point d’inflexion en a et l’évolution d’une population commence à ralentir au bout de a années.
Pour aller plus loin, et sur une thématique similaire, je vous conseille aussi d’étudier le modèle proie-prédateur qui concerne aussi l’évolution d’une population :
