Dans cet article, nous allons explorer ce c’est qu’est le pivot de Gauss, une technique fondamentale en algèbre linéaire utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.
Prérequis
Définition
Le pivot de Gauss est une méthode qui permet de simplifier un système d’équations linéaires en le transformant en un système équivalent plus simple à résoudre. Cette simplification est réalisée en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice associée au système.
Méthode du pivot de Gauss
Voici la méthode du pivot de Gauss :
- Sélectionner une ligne dont la première colonne est non nulle. Cet élément est appelé “pivot”. Par défaut, on prendra la première ligne
- Échanger les lignes si nécessaire pour placer le pivot en haut de la colonne.
- Utiliser des opérations élémentaires pour obtenir des zéros en dessous du pivot.
- Répéter le processus pour les sous-matrices restantes.
- Continuer jusqu’à ce que la matrice soit sous forme échelonnée.
Propriété fondamentale
La méthode du pivot de Gauss ne modifie pas la solution du système d’équations.
Exercice corrigé : Résolution d’un système d’équations linéaires à l’aide du pivot de Gauss
Considérons le système d’équations suivant :
\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z &=& 9 \\ 2x + 3y + z &=& 8 \\ x + y + 2z &= &10 \end{array}\right.Étape 1 : Écriture matricielle
Nous pouvons représenter ce système sous forme matricielle AX = B où :
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}et
B =
\begin{bmatrix}
9 \\
8 \\
10 \\
\end{bmatrix}Étape 2 : Choix du pivot
Nous choisissons le premier élément de la première colonne (1) comme pivot.
Étape 3 : Opérations élémentaires pour obtenir des zéros en dessous du pivot
Nous souhaitons obtenir des zéros en dessous du pivot dans la première colonne. Pour ce faire :
- Soustrayez 2 fois la première ligne à la deuxième ligne.
- Soustrayez la première ligne de la troisième ligne.
La matrice A devient :
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}et la matrice B devient :
\begin{bmatrix}
9 \\
-10 \\
1 \\
\end{bmatrix}Étape 4 : Répétition du processus pour les sous-matrices restantes
Nous répétons le processus pour la sous-matrice 2×2 restante. Le pivot est maintenant -1 (deuxième ligne, deuxième colonne). Pour obtenir un zéro en dessous de ce pivot, nous ajoutons la deuxième ligne à la troisième ligne. La matrice A est maintenant :
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \
\end{pmatrix}et la matrice B est
\begin{bmatrix}
9 \\
-10 \\
-9 \\
\end{bmatrix}Étape 5 : Résolution du système
À partir de la forme échelonnée de la matrice, nous pouvons résoudre le système d’équations :
\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z &=& 9 \\ -y - z &=& -10 \\
0 &=& -9 \end{array}\right.La troisième équation suggère une contradiction 0 \neq -9, ce qui signifie que le système d’équations n’a pas de solution.
Cet exemple montre comment utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système d’équations linéaires. Dans ce cas, le système n’a pas de solution, mais la méthode est applicable à de nombreux autres systèmes qui peuvent avoir une solution unique ou une infinité de solutions.
Exercices
Exercice 1
Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :
\left\{\begin{array}{rcl}
x + y + z &= &6 \\ 2x + y + 2z &= &10 \\
x + 2y + 3z &= &14
\end{array}\right.Exercice 2
Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour déterminer si le système d’équations suivant a une solution, une infinité de solutions ou aucune solution :
\left\{\begin{array}{rcl}
2x - y + z &=& 5 \\ x + y - z &=& 2 \\ 3x + 2y + 2z &=& 12
\end{array}\right.Exercice 3
Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :
\left\{\begin{array}{rcl}
x + 2y - z &= 4 \\ 2x - y + 3z &= 3 \\ x - y + 2z &= 1
\end{array}\right.Exercice 4
Un magasin vend trois types de fruits : pommes, bananes et cerises. Trois clients achètent les fruits de la manière suivante :
- Le premier client achète 2 pommes, 3 bananes et 1 cerise pour 10€.
- Le deuxième client achète 1 pomme, 1 banane et 2 cerises pour 7€.
- Le troisième client achète 3 pommes, 2 bananes et 1 cerise pour 11€.
Utilisez la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le coût de chaque fruit.
Exercice 5
Résolvez le système d’équations suivant à l’aide de la méthode du pivot de Gauss :
\left\{\begin{array}{rcl}
x - 2y + 3z &=& 1 \\ 3x + y - z &=& 5 \\ 2x + 2y + z &=& 10 \end{array}\right.
