Dans cet article, nous allons vous présenter la notion de division euclidienne, essentielle en arithmétique, et qui va servir par la suite à faire de nombreux calculs.
Définition de la division euclidienne
Dans les entiers naturels
Soit deux entiers a \geq 0 et b \geq 0 . Il existe deux entiers naturels q et r tels que :
- a = b\times q + r
- 0 \leq r < b
Une caractérisation est de dire qu’il existe un unique entier q tel que 0 \leq a-bq \leq b que l’on peut aussi écrire sous la forme bq \leq a < b(q+1)
Un peu de vocabulaire :
- a s’appelle le dividende
- b s’appelle le diviseur
- q s’appelle le quotient
- r s’appelle le reste
On peut donc écrire l’équation suivante pour s’en rappeler : dividende = diviseur x quotient + reste
Dans les entiers relatifs
Soient a et b deux entiers relatifs. Il existe un entier relatif q et un entier naturel r tels que :
- a = b\times q + r
- 0 \leq r < |b|
On utilise donc dans ce cas là, la valeur absolue pour encadrer le reste r.
Dans les polynômes
Pour généraliser encore plus la notion : on va prendre un corps commutatif \mathbb{K} et A et B deux polynômes de ce corps. Alors la division euclidienne sur les polynômes s’écrit par l’unicité et l’existence de Q et R tels que :
- A = BQ +R
- deg(R) < deg(B)
Exemples corrigés
- La division euclidienne de 19 par 5 s’écrit 19 = 5 \times 3 + 4
- La division euclidienne de -19 par 5 s’écrit -19 = 5 \times (-4) + 1
- La division euclidienne de 30 par 6 s’écrit 30 = 6 \times 5 + 0
Pour comprendre comment effectuer une division euclidienne, je vous invite à aller voir notre article sur comment poser une division.
Si vous souhaitez gagner du temps, je vous invite à lire notre article sur la divisibilité
Exercices corrigés
Exercice 1
Énoncé : Une tarte pour 4 personnes coûte 7 €. Une cuisinière dans un restaurant dispose de 85 €. Combien peut-elle acheter de tartes ? Combien lui reste-t-il d’argent ?
Corrigé : On fait la division euclidienne de 85 par 7. On obtient : 85 = 7 \times 12 +1 .
La cuisinière peut donc acheter 12 tartes et il lui restera 1€.
Exercice 2
Énoncé : Pour une colonie de vacances, il faut un encadrant pour 11 enfants. Sachant qu’on a 70 enfants, combien faut-il d’encadrants ?
Corrigé : On fait la division euclidienne de 70 par 11 et on obtient : 70 = 11 \times 6 + 4 . On va arrondir à l’entier supérieur pour ne pas que les 4 enfants restants se retrouvent sans encadrant. Il faut donc 7 encadrants.
Exercices
Exercice 1
Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
- 728 divisé par 32
- 4027 divisé par 45
- 3573 divisé par 12
- 983 divisé par 16
Exercice 2
Un pêcheur vend des huîtres par douzaine. Il possède 539 huîtres. Combien va-t-il lui en rester à la fin une fois qu’il a vendu toutes les douzaines qu’il pouvait ?
Exercice 3
Trouver le nombre :
Quand j’effectue la division euclidienne de 2524 par ce nombre, le quotient est 64 et le reste est 28
Exercice 4
On cherche à ranger des livres dans des casiers. Chaque casier peut contenir 25 livres. On dispose de 365 livres. Combien de casiers sont nécessaires ?
Exercice 5
Quel est le seul nombre compris entre 1 et 100 multiple de 4, 5 et 6 ?
D’autres exercices sont disponibles sur notre article sur poser une division.
