Cet article a pour but de présenter les formules des dérivées pour la plupart des fonctions dites usuelles. Nous allons essayer d’être exhaustifs pour cette fiche-mémoire.
Si vous cherchez un cours sur la dérivation, allez plutôt ici. Et si vous cherchez des exercices sur la dérivation et que vous êtes dans le supérieur, c’est à cet endroit qu’il faut aller.
Dérivation des puissances
Commençons par les cas les plus simples : les fonctions puissances et les fonctions issues de l’exponentielle : 1, x, xn, la fonction inverse ou une puissance quelconque.
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
1 & 0 & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
x & 1 & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
x^2& 2x & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
x^n, n \in \N & nx^{n-1} & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\frac{1}{x}& -\frac{1}{x^2} &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline \\
\frac{1}{x^n}, n\in \N& -\frac{n}{x^{n+1}} &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline \\
\sqrt{x} & \frac{1}{2\sqrt{x}} & \mathbb{R}_+^* \\ \\ \hline \\
\text{Généralisation : } & \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^* \text{ ou }\mathbb{R}\\
x^{\alpha}, \alpha\in \mathbb{R} & & \text{ou } \mathbb{R}^* \\ \\ \hline
\end{array}Dérivation liées à l’exponentielle et au logarithme
Ici nous allons dériver les fonctions liées de près à l’exponentielle et au logarithme. Voici les formules pour toutes ces fonctions :
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
e^x & e^x & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
e^{ax}, a \in \mathbb{C} & ae^{ax} & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
a^x, a \in \mathbb{R}_+^* & a^x \ln a & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\ln |x| &\dfrac{1}{x} & \mathbb{R}^* \\ \\ \hline \\
\log_a x& \dfrac{1}{x\ln a} &\mathbb{R}^* \\ \\ \hline
\end{array}Dérivation des fonctions sinus, cosinus et tangente
Voici les formules pour dériver les fonctions sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan) et cotangente (cotan)
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
\cos x & - \sin x & \mathbb{R} \\ \\\hline \\
\sin x & \cos x & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\tan x& 1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} & \left] -\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2} +k\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline \\
\text{cotan } x & -1-\text{cotan }^2x =\dfrac{-1}{\sin^2 x} & \left] k\pi;(k+1)\pi \right[ \\
&& k \in \mathbb{Z} \\ \\ \hline
\end{array}Dérivées des fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique
Voici les formules pour dériver les fonctions sinus hyperbolique (sh), cosinus (ch), tangente (th) et cotangente (coth)
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
\text{ch } x & \text{sh }x &\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{sh } x & \text{ch }x &\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{th } x & 1 - \text{th}^2 x=\dfrac{1}{\text{ch}^2 x} & \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{coth } x & 1 - \text{coth}^2 x= \dfrac{-1}{\text{sh}^2x} & \mathbb{R}^*\\ \\ \hline
\end{array}Dérivation de Arcsin, Arccos, Arctan, Argch, Argsh, Argth
Voici les dérivées et ensembles de définition des fonctions réciproques de cos, sin, tan, sh et th.
\begin{array}{| c | c | c | } \hline
\text{Fonction}& \text{Dérivée}& \text{Ensemble} \\
&& \text{de définition}\\ \hline \hline \\
\arccos x & - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \\\hline \\
\arcsin x & \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \\\hline \\
\arctan x & \dfrac{1}{1+x^2}& \mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{argch } x &\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} & ]1;+\infty[ \\ \\ \hline \\
\text{argsh }x& \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}&\mathbb{R} \\ \\ \hline \\
\text{argth } x& \dfrac{1}{1-x^2} &]-1;1[ \\ \\ \hline
\end{array}Et voici pour les dérivées usuelles. Retrouvez aussi tous nos exercices de dérivation
Découvrez toutes nos fiches aide-mémoire :
- Les formules des surfaces usuelles
- Formulaire : Toutes les formules à connaitre sur les vecteurs
- Les fonctions usuelles
- Les limites usuelles
- Les différents types de suites en mathématiques
- Toutes les propriétés des sinus, cosinus et tangente hyperboliques
- Les formules des volumes usuels
- Les équivalents usuels
- Formulaire : Les sommes usuelles
- Formulaire : Toutes les primitives usuelles
Bonjour, il y a une erreur dans la dérivée de la tangente, il semblerait que vous ayez inversé le cos et la tan
Bonne journée
C’est exact ! Je viens de corriger