Corrigeons le déterminant circulant ! C’est un exercice à la frontière entre le chapitre des déterminants qui utilise les racines de l’unité. C’est un exercice tout à fait faisable en première année dans le supérieur. En voici l’énoncé :
Enoncé
Et voici la correction de cet exercice !
Corrigé
On va introduire une nouvelle matrice M = (\omega^{(i-1)(j-1)})_{1 \leq i,j \leq n} où \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}. Si on la représente :
M = \begin{pmatrix}
1 & 1& 1 & \ldots & 1\\
1 & \omega & \omega^2 & \ldots & \omega^{n-1}\\
1 & \omega^2 & \omega^4 & \ldots & \omega^{2(n-1)}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
1 & \omega^{n-1} & \omega^{3(n-1)} & \ldots & \omega^{(n-1)^2}
\end{pmatrix}Calculons ensuite AM. Si on regarde la i-ème ligne pour i \geq 2, on a :
L_i = (a_{n-i+2}\ a_{n-i+3} \ldots a_n \ a_1 \ldots a_{n-i+1})Donc si on calcule le termine (i,j) :
\begin{array}{rl}
(AM)_{ij}& = a_{n-i+2} + a_{n-i+3}w^{j-1} + \ldots + a_1\omega^{(i-1)(j-1)} \\
&+ a_2\omega^{i(j-1)} + \ldots + a_{n-i+1}\omega^{(n-1)(j-1)}\\
& = \omega^{(i-1)(j-1)}(a_1 + a_2w^{j-1} + \ldots + a_n \omega^{(n-1)(j-1)})
\end{array}
On définit
P = \sum_{k=1}^n a_kX^{k-1}On a alors (AM)_{ij} = P(\omega^{j-1}) \omega^{(i-1)(j-1)} = P(\omega^{j-1}) M_{ij} indépendant de i. Ce qui fait que si on calcule un déterminant, on peut extraire ce facteur là à la ligne i.
On a alors, en utilisant les propriétés du déterminant,
det(AM) = \left(\prod_{j=0}^{n-1} P(\omega^j) \right)\det(M)Or,
\begin{array}{c}\det(AM) = \det(A)\det(M)\\ \iff \\\displaystyle \left(\prod_{j=0}^{n-1} P(\omega^j) \right)\det(M) = \det(A)\det(M)
\end{array}De plus \det(M) \neq 0 , c’est un déterminant de Vandermonde avec \lambda_i = \omega^{i-1}
On peut donc simplifier et conclure le calcul de ce déterminant circulant :
\det(A) = \prod_{j=0}^{n-1} P(\omega^j) Cet exercice vous a plu ?
