Les espaces vectoriels sont la clé de voûte de l’algèbre linéaire. Dans cet article, nous allons voir comment est défini cet objet mathématique. Nous rentrerons dans des points particuliers dans d’autres articles.
Définition d’un espace vectoriel
Soit \mathbb{K} un corps commutatif ( \R ou \mathbb{C} par exemple).
Un \mathbb{K}-espace vectoriel est un ensemble E tel que :
- (E,+) est un groupe commutatif, c’est à dire qu’on a :
- \forall x,y \in E, x+y = y+x
- Associativité : \forall x,y,z \in E, (x+y)+z = x+(y+z)
- Existence d’un élément neutre, noté 0_E : \forall x \in E, x+0_E =0_E+ x=x
- Existence d’un opposé, noté -x : \forall x \in E, \exists y \in E, x+y = y+x = 0_E
- (E,.) est une loi externe vérifiant :
- Distributivité à gauche : \forall (\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall x \in E (\alpha+\beta).x = \alpha.x +\beta. x
- Distributivité à droite : \forall \alpha \in \mathbb{K}, \forall (x,y) \in E \alpha.(x+y) = \alpha.x +\alpha. y
- Associativité : \forall (\alpha,\beta) \in \mathbb{K}, \forall x \in E (\alpha.\beta).x = \alpha .(\beta. x )
- Existence du neutre 1_E : \ \forall x \in E 1_E.x =x
On appelle vecteurs les éléments de E et scalaires les éléments de \mathbb{K}
Propriétés
- Soient (E_1, \ldots, E_n) des \mathbb{K}-espaces vectoriels. Alors le produit cartésien E_1 \times \ldots \times E_n est aussi un \mathbb{K} espace vectoriel avec :
- \forall (x_1, \ldots, x_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n , \forall (y_1, \ldots, y_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n, (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1+ y_1, \ldots, x_n + y_n)
- \forall (x_1, \ldots, x_n) \in E_1 \times \ldots \times E_n , \forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda/ (x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)
- L’intersection de 2 \mathbb{K}-espaces vectoriels est un \mathbb{K}-espace vectoriel.
Exemples
Voici quelques exemples d’espaces vectoriels :
- \mathbb{K}^n, n \in \N^*
- L’ensemble des polynômes dans \mathbb{K}, \mathbb{K}[X]
- M_{n,p}(\mathbb{K})
- Soit A un ensemble, \mathcal{F} (A,\mathbb{K}) , l’ensemble des applications de A dans \mathbb{K} est un espace vectoriel
- \mathbb{K}^{\mathbb{N}} , l’ensemble des suites à valeurs dans \mathbb{K} est un espace vectoriel
- {0}
