Les formules de Taylor font partie des formules les plus importantes en analyse. Voici dans cet article la liste avec leurs énoncés.
Ces formules sont notamment utiles pour calculer des développements limités
Formule de Taylor-Young
Soit f: I \to \R et a \in I. On suppose que f est n-1 fois dérivable dans un voisinage ]a-h,a+h[ de a et que f^{(n)}(a) existe.
Alors, f admet un développement limité en a à l’ordre n avec
f(a+h) = \sum_{k=0}^n \dfrac{h^k f^{(k)}(a)}{k!} + o\left( h^n\right)Formule de Taylor-Lagrange
Soit f: I \to \R et a,b \in I. On suppose que f est n-1 fois dérivable sur [a,b] et n fois dérivable sur ]a,b[ .
Alors, il existe c \in ]a,b[ tel que
f(b) - \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) = \dfrac{f^{(n)}(c)(b-a)^n}{n!} Formule de Taylor avec reste intégrale
Soit f: [a,b] \to \R de classe \mathcal{C}^{n+1}. Alors
f(b) =\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) dtInégalité de Taylor-Lagrange
On peut déduire de cette formule l’inégalité de Taylor-Lagrange. On pose, s’il existe M = \sup_{x \in [a,b]} |f^{(n+1)}(x)|. On a alors :
\forall x \in [a,b],\left|f(x) -\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(b-a)^k }{k!}f^{(k)}(a) \right|\leq \dfrac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} Formule de Taylor pour les polynômes
Soit P un polynôme de \mathbb{C}_n[X] . Alors
P (X) = \sum_{k=0}^n \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k
